مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المستوى: الثالثة ثانوي (جميع الشعب العلمية) – بكالوريا
المادة: الرياضيات
الوحدة: النهايات والاستمرارية
أهمية الدرس: ⭐⭐⭐⭐⭐ – أساس لفهم الاشتقاق والتكامل والمعادلات التفاضلية، ويأتي في كل بكالوريا
مدة الدراسة المقترحة: 4-5 حصص دراسية
1️⃣ المفاهيم الأساسية للنهايات
1.1 تعريف النهاية
أنواع النهايات:
- نهاية منتهية: \( \lim_{x o a} f(x) = L \) حيث \( L \in \mathbb{R} \)
- نهاية غير منتهية: \( \lim_{x o a} f(x) = +\infty \) أو \( -\infty \)
- نهاية عند اللانهاية: \( \lim_{x o +\infty} f(x) = L \) أو \( \lim_{x o -\infty} f(x) = L \)
- نهاية يسرى ويمنى:
\[ \lim_{x o a^-} f(x)
eq \lim_{x o a^+} f(x) \implies ext{النهاية غير موجودة} \]
1.2 قواعد حساب النهايات الأساسية
ight) \cdot \left(\lim_{x o a} g(x)
ight) \] \[ \lim_{x o a} rac{f(x)}{g(x)} = rac{\lim_{x o a} f(x)}{\lim_{x o a} g(x)} \quad ( ext{إذا كان المقام }
eq 0) \] \[ \lim_{x o a} k \cdot f(x) = k \cdot \lim_{x o a} f(x) \quad (k \in \mathbb{R}) \]
2️⃣ حالات عدم التعيين (Indeterminate Forms)
2.1 كيفية رفع حالات عدم التعيين
الحالة 1: \( rac{0}{0} \) في الدوال الناطقة
الطريقة: تحليل البسط والمقام إلى عوامل ثم اختصار العامل المشترك.
الحل: نلاحظ أن \( x = 2 \) يعطي \( rac{0}{0} \) (حالة عدم تعيين).
نحلل البسط: \( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)
✅ إذن: \( \displaystyle \lim_{x o 2} rac{x^2 – 4}{x – 2} = 4 \)
الحالة 2: \( rac{0}{0} \) في الدوال التي تحتوي على جذور
الطريقة: نضرب البسط والمقام في المرافق.
الحل: حالة \( rac{0}{0} \). نضرب في المرافق \( \sqrt{x} + 2 \):
✅ إذن: \( \displaystyle \lim_{x o 4} rac{\sqrt{x} – 2}{x – 4} = rac{1}{4} \)
الحالة 3: \( rac{\infty}{\infty} \) عند اللانهاية
الطريقة: نقسم البسط والمقام على أعلى قوة للمتغير \( x \).
الحل: نقسم على \( x^2 \) (أعلى قوة):
نهايات الدوال في اللانهاية (قاعدة سريعة):
لدينا دالتان كثيرتا الحدود: \( P(x) = a_n x^n + … \) و \( Q(x) = b_m x^m + … \)
- إذا كان \( n > m \): \( \displaystyle \lim_{x o \pm\infty} rac{P(x)}{Q(x)} = \pm\infty \)
- إذا كان \( n = m \): \( \displaystyle \lim_{x o \pm\infty} rac{P(x)}{Q(x)} = rac{a_n}{b_m} \)
- إذا كان \( n < m \): \( \displaystyle \lim_{x o \pm\infty} rac{P(x)}{Q(x)} = 0 \)
الحالة 4: \( \infty – \infty \)
الطريقة: نضرب ونقسم في المرافق (للدوال التي تحتوي على جذور) أو نوحد المقامات.
الحل: نضرب ونقسم في المرافق \( \sqrt{x^2 + 3x + 1} + x \):
3️⃣ النهايات الشهيرة (Limits of Standard Functions)
الحل:
✅ إذن: \( \displaystyle \lim_{x o 0} rac{\sin 3x}{2x} = rac{3}{2} \)
جدول نهايات الدوال الأسية واللوغاريتمية:
| النهاية | النتيجة |
|---|---|
| \( \lim_{x o -\infty} e^x \) | \( 0 \) |
| \( \lim_{x o +\infty} e^x \) | \( +\infty \) |
| \( \lim_{x o 0^+} \ln x \) | \( -\infty \) |
| \( \lim_{x o +\infty} \ln x \) | \( +\infty \) |
| \( \lim_{x o +\infty} rac{e^x}{x^n} \) | \( +\infty \) (الأسية “تغلب” على الحدودية) |
| \( \lim_{x o +\infty} rac{\ln x}{x^n} \) | \( 0 \) (اللوغاريتم “أضعف” من الحدودية) |
4️⃣ الاستمرارية (Continuity)
4.1 تعريف الاستمرارية في نقطة
تكون الدالة \( f \) مستمرة في النقطة \( x = a \) إذا تحقق:
وهذا يعني ثلاثة شروط:
- \( f(a) \) موجودة (أي \( a \) تنتمي إلى مجال تعريف \( f \))
- \( \displaystyle \lim_{x o a} f(x) \) موجودة
- قيمة النهاية = قيمة الدالة في النقطة
الحل:
الشرط 1: \( f(2) = 3 \) ✅ موجودة
الشرط 2: نحسب النهايات:
النهاية اليسرى: \( \displaystyle \lim_{x o 2^-} f(x) = \lim_{x o 2^-} (x^2 – 1) = 4 – 1 = 3 \)
النهاية اليمنى: \( \displaystyle \lim_{x o 2^+} f(x) = \lim_{x o 2^+} (2x – 1) = 4 – 1 = 3 \)
إذن: \( \displaystyle \lim_{x o 2} f(x) = 3 \) ✅ النهاية موجودة
الشرط 3: \( \displaystyle \lim_{x o 2} f(x) = f(2) = 3 \) ✅ متساويان
✅ إذن \( f \) مستمرة عند \( x = 2 \).
4.2 أنواع الاستمرارية
- استمرارية في نقطة: كما تم تعريفه أعلاه.
- استمرارية على مجال: الدالة مستمرة على مجال مفتوح \( ]a, b[ \) إذا كانت مستمرة في كل نقطة من المجال.
- استمرارية على مجال مغلق: مستمرة على \( ]a, b[ \) + مستمرة يميناً عند \( a \) + مستمرة يساراً عند \( b \).
4.3 مبرهنة القيم المتوسطة (مهمة جداً للبكالوريا) 🎯
إذا كانت \( f \) مستمرة على المجال \( [a, b] \) وكانت \( f(a) \cdot f(b) < 0 \) (أي إشارتيهما مختلفتان)، فإن:
بكلمات أخرى: إذا كانت دالة مستمرة تأخذ إشارة مختلفة عند طرفي فترة، فإنها تُلاقي محور \( x \) في نقطة داخل الفترة.
نتيجة مهمة:
إذا كانت \( f \) مستمرة ورتيبة (متزايدة أو متناقصة) تماماً على \( [a, b] \)، فإن المعادلة \( f(x) = 0 \) تقبل حلاً وحيداً في \( ]a, b[ \) إذا كان \( f(a) \cdot f(b) < 0 \).
الحل:
نعتبر الدالة \( f(x) = x^3 – 3x + 1 \). \( f \) مستمرة على \( \mathbb{R} \) (لأنها كثيرة حدود).
نبحث عن تغير الإشارة عبر قيم:
\( f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1 < 0 \)
\( f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0 \) → يوجد حل في \( ]-2, -1[ \)
\( f(0) = 1 > 0 \)
\( f(1) = 1 – 3 + 1 = -1 < 0 \) → يوجد حل في \( ]0, 1[ \)
\( f(2) = 8 – 6 + 1 = 3 > 0 \) → يوجد حل في \( ]1, 2[ \)
إذن المعادلة تقبل ثلاثة حلول حقيقية ✅
5️⃣ تمارين بكالوريا محلولة 🏆
تمرين 1: بكالوريا – علوم تجريبية
الحل:
✅ الإجابة: \( rac{2}{3} \)
تذكير: \( \displaystyle \lim_{t o 0} rac{\ln(1 + t)}{t} = 1 \)
تمرين 2: بكالوريا – تقني رياضي
الحل:
الدالة غير معرفة عند \( x = 1 \) لأن المقام = 0. ننظر إلى النهاية:
النهاية موجودة ومنتهية (\( = 2 \))، إذن يمكننا تعريف \( f(1) = 2 \) فتصبح الدالة مستمرة عند \( x = 1 \).
✅ هذه الحالة تسمى “انقطاع قابل للإزالة” (removable discontinuity).
تمرين 3: بكالوريا – شعبة آداب
الحل: حالة \( rac{0}{0} \). نضرب في المرافق \( \sqrt{x + 2} + 2 \):
✅ الإجابة: \( rac{1}{4} \)
تمرين 4: بكالوريا – علوم تجريبية
الحل:
نلاحظ أن \( f(2) \) غير معرفة (مقام = 0). نحلل البسط والمقام:
\( x^3 – 8 = (x – 2)(x^2 + 2x + 4) \) (فرق مكعبين)
\( x^2 – 4 = (x – 2)(x + 2) \)
✅ الإجابة: \( 3 \)
6️⃣ ملخص شامل للدرس 📋
🔑 المفاهيم الأساسية:
| المفهوم | التعريف / القاعدة |
|---|---|
| نهاية دالة | \( \lim_{x o a} f(x) = L \) يعني أن \( f(x) \) تقترب من \( L \) عندما تؤول \( x \) إلى \( a \) |
| حالات عدم التعيين | \( rac{0}{0}, rac{\infty}{\infty}, \infty – \infty, 0 imes \infty, 0^0, 1^\infty, \infty^0 \) |
| رفع \( rac{0}{0} \) | تحليل → اختصار، أو الضرب في المرافق |
| رفع \( rac{\infty}{\infty} \) | القسمة على أعلى قوة للمتغير |
| الاستمرارية | \( \lim_{x o a} f(x) = f(a) \) |
| مبرهنة القيم المتوسطة | \( f \) مستمرة على \( [a,b] \) و \( f(a) \cdot f(b) < 0 \) → يوجد \( c \in ]a,b[ \) بحيث \( f(c) = 0 \) |
📝 نصائح للبكالوريا:
- ✅ اقرأ التمرين كاملاً أولاً: حدد نوع الحالة (هل هناك عدم تعيين؟ هل المطلوب نهاية أم استمرارية؟)
- ✅ تحقق من المجال: قبل حساب أي نهاية، حدد مجال تعريف الدالة.
- ✅ تعرّف على حالة عدم التعيين: عوّض بالقيمة في الدالة لترى النتيجة.
- ✅ اختر الطريقة المناسبة: هل تحتاج تحليل؟ مرافق؟ قسمة على أعلى قوة؟ قاعدة لوبيتال (إذا كان مسموحاً بها)؟
- ✅ تبسيط النتيجة: تأكد من أن النتيجة النهائية مبسطة.
- ✅ استمرارية الدوال المألوفة: جميع الدوال الحدودية والدوال المثلثية والدوال الأسية واللوغاريتمية مستمرة على مجال تعريفها.
- ✅ دوال القيمة المطلقة: \( |x| \) مستمرة على \( \mathbb{R} \) ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند \( 0 \).
7️⃣ تمارين إضافية للتدريب 🏋️
التدريب 1: احسب النهايات التالية:
أ) \( \displaystyle \lim_{x o 3} rac{x^2 – 9}{x – 3} \)
ب) \( \displaystyle \lim_{x o +\infty} rac{2x^3 – 5x + 1}{3x^3 + 7} \)
ج) \( \displaystyle \lim_{x o 0} rac{\sin 5x}{\sin 3x} \)
د) \( \displaystyle \lim_{x o +\infty} (\sqrt{x^2 + 5x} – x) \)
📌 الإجابات: أ) 6 | ب) \( rac{2}{3} \) | ج) \( rac{5}{3} \) | د) \( rac{5}{2} \)
التدريب 2: ادرس استمرارية الدالة \( f(x) = rac{|x – 2|}{x – 2} \) عند \( x = 2 \).
📌 الحل: \( \lim_{x o 2^-} f(x) = -1 \) و \( \lim_{x o 2^+} f(x) = 1 \). النهاية غير موجودة، إذن \( f \) غير مستمرة عند \( 2 \).
التدريب 3 (بكالوريا): بين أن المعادلة \( x^3 – 3x^2 + 1 = 0 \) تقبل ثلاث حلول حقيقية.
📌 تلميح: استخدم مبرهنة القيم المتوسطة مع القيم \( f(-1), f(0), f(1), f(3) \).
النهايات والاستمرارية هما حجر الزاوية في التحليل الرياضي. بدون فهمهما، لا يمكن فهم الاشتقاق، التكامل، المعادلات التفاضلية، أو نظرية الدوال. تأكد من:
1️⃣ حفظ النهايات الشهيرة الأساسية
2️⃣ التمرن على رفع حالات عدم التعيين
3️⃣ فهم شروط الاستمرارية وتطبيق مبرهنة القيم المتوسطة
4️⃣ حل أكبر عدد من تمارين البكالوريا السابقة 📖
📚 الدرس من إعداد أستاذ الرياضيات – منهاج الجزائر – جميع الحقوق محفوظة © 2026
لمزيد من الدروس والتمارين، تابعوا موقع dz-onec.com
📍 دروس مشابهة
- العنف: مفهومه وأشكاله ومواقف الفلسفة منه – الثالثة ثانوي (بكالوريا) فلسفة
- التنظيم الهرموني: الغدد الصم والهرمونات مع تمارين بكالوريا – الثالثة ثانوي (ب…
