المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد — تعريفها وحلها وتمثيل الحلول على مستقيم عددي — الرياضيات — السنة الثالثة متوسط — المنهاج الجزائري

المتراجحات (Inequalities) هي تعابير رياضية تستخدم لمقارنة المقادير. في هذا الدرس، نتعلم كيفية حل المتراجحات من الدرجة الأولى بمجهول واحد وتمثيل مجموعة الحلول على مستقيم عددي. هذا المفهوم مهم جداً لحل مسائل الحياة اليومية كالمقارنة بين الأسعار والكميات.

الأهداف التعليمية

• أن يعرف التلميذ مفهوم المتراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.
• أن يميز بين المعادلة والمتراجحة.
• أن يحل متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد.
• أن يمثل مجموعة حلول متراجحة على مستقيم عددي.

الشرح المبسط

تعريف المتراجحة: المتراجحة هي علاقة رياضية تربط بين مقدارين باستخدام أحد الرموز التالية: < (أصغر من)، > (أكبر من)، ≤ (أصغر من أو يساوي)، ≥ (أكبر من أو يساوي).

مثال: 3x + 5 > 11 هي متراجحة من الدرجة الأولى بمجهول واحد x.

حل المتراجحة: إيجاد جميع قيم x التي تحقق المتراجحة.

قواعد حل المتراجحات:

• نضيف أو نطرح نفس العدد من طرفي المتراجحة ← تبقى المتراجحة محققة.
• نضرب أو نقسم طرفي المتراجحة على نفس العدد الموجب ← تبقى المتراجحة محققة.
• نضرب أو نقسم طرفي المتراجحة على نفس العدد السالب ← ينعكس اتجاه المتراجحة.

انتبه! عند الضرب أو القسمة على عدد سالب، يتغير اتجاه رمز المتراجحة.

مثال: -2x < 6 → x > -3 (قسمنا على -2 فعكسنا الإشارة)

تمثيل الحلول على مستقيم عددي:

• نستخدم ⚪ (دائرة مفرغة) للدلالة على أن العدد غير مضمن (< أو >).
• نستخدم ⚫ (دائرة مصمتة) للدلالة على أن العدد مضمن (≤ أو ≥).
• نظلل الجهة التي تمثل مجموعة الحلول.

أمثلة محلولة

المثال 1: حل متراجحة بسيطة

حل المتراجحة: 2x + 3 > 7
الحل:
2x + 3 > 7
2x > 7 – 3 ← نطرح 3 من الطرفين
2x > 4
x > 2 ← نقسم على 2 (موجب، لا نعكس الإشارة)
مجموعة الحلول: S = {x ∈ ℝ / x > 2}

المثال 2: متراجحة مع قسمة على عدد سالب

حل المتراجحة: -3x + 5 ≤ 11
الحل:
-3x + 5 ≤ 11
-3x ≤ 11 – 5 = 6
-3x ≤ 6
x ≥ -2 ← نقسم على -3 (سالب، نعكس الإشارة)
مجموعة الحلول: S = {x ∈ ℝ / x ≥ -2}

تمارين تطبيقية

1. حل المتراجحات التالية: أ) 3x – 5 < 7، ب) 4x + 2 ≥ 10، ج) -2x + 5 ≤ 1، د) 5x - 3 > 2x + 6
2. مثل مجموعة حلول المتراجحات التالية على مستقيم عددي: أ) x > 3، ب) x ≤ -2، ج) 1 ≤ x < 5
3. مسألة: رائد يوفر 200 دينار أسبوعياً. كم أسبوعاً يحتاج ليوفر أكثر من 3000 دينار إذا كان لديه حالياً 1200 دينار؟
4. أكتب متراجحة تمثل الجملة التالية: “ضرب عدد ما في 3 ثم إضافة 5 يعطي ناتجاً أكبر من 17”. ثم حلها.

نشاط منزلي

اختر ثلاثة منتجات من السوبر ماركت (أو أسأل والديك عن أسعارها). اكتب متراجحة تقارن بين سعر منتجين مختلفين (مثلاً: سعر كيلو التفاح > سعر كيلو البرتقال). ثم اكتب مسألة حياتية تستخدم المتراجحات لحلها (مثلاً: كم كيلو من التفاح يمكن شراؤه بـ 500 دينار إذا كان الكيلو بـ 150 ديناراً؟). حل المسألة ومثل الحل على مستقيم عددي.

📍 دروس مشابهة

• المصادر — المصدر الثلاثي والرباعي والميمي — قواعد صياغتها وإعرابها — اللغة ال…
• الدائرة المحيطة بالمثلث والدائرة المدرجة في المثلث — الرياضيات — السنة الثالث…
• Modal Verbs (Can, Must, Should, May) — Grammar Rules and Exercises — English …