مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
التكامل: درس شامل مع تمارين بكالوريا محلولة – الثالثة ثانوي (بكالوريا)
- المستوى: الثالثة ثانوي – جميع الشعب (علوم تجريبية – رياضيات – تقني رياضي – اقتصاد)
- المادة: الرياضيات
- الوحدة: التكامل – حساب المساحات والحجوم
- الأهمية: ⭐⭐⭐⭐⭐ – التكامل من أهم مواضيع البكالوريا وأكثرها تكراراً في الامتحان (سؤال مباشر بقيم 4 إلى 7 نقاط)
- المدة المقترحة: 6 إلى 8 حصص
1. الدوال الأصلية (Primitives) – تذكير أساسي
نقول أن الدالة
F دالة أصلية للدالة f على المجال I إذا كانت F قابلة للاشتقاق على I وكان:\\[ F'(x) = f(x) \\quad \\forall x \\in I \\]
جدول الدوال الأصلية الأساسية:
| \(f(x)\) | \(F(x)\) (دالة أصلية) | المجال |
|---|---|---|
| \(k\) (ثابت) | \(kx + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) ( \(n \neq -1\) ) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x| + C\) | \(]-\infty,0[ \cup ]0,+\infty[\) |
| \(\dfrac{1}{x^n}\) ( \(n \neq 1\) ) | \(\dfrac{-1}{(n-1)x^{n-1}} + C\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x} + C\) | \(]0,+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(e^{ax+b}\) | \(\dfrac{1}{a}e^{ax+b} + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x + C\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x + C\) | \(\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}\) |
| \(\dfrac{1}{\sin^2 x}\) | \(-\cot x + C\) | \(\mathbb{R} \setminus \{k\pi\}\) |
الحل:
\(F(x) = 3 \cdot \dfrac{x^{3}}{3} – 4 \cdot \dfrac{x^{2}}{2} + 5x + C = x^3 – 2x^2 + 5x + C\)
2. التكامل المحدد (Définie Intégrale)
إذا كانت
F دالة أصلية للدالة f على المجال [a;b]، فإن التكامل المحدد للدالة f من a إلى b هو:\\[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a) \\]
2.1 خصائص التكامل المحدد:
- الخطية: \(\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x)) \, dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x) \, dx + \beta \int_{a}^{b} g(x) \, dx\)
- علاقة شاسل: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx\)
- عكس الحدود: \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx\)
- تكامل دالة زوجية على \([-a;a]\): \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx\) (إذا كانت \(f\) زوجية)
- تكامل دالة فردية على \([-a;a]\): \(\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0\) (إذا كانت \(f\) فردية)
- مقارنة التكاملات: إذا كان \(f(x) \leq g(x)\) على \([a;b]\) فإن \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq \int_{a}^{b} g(x) \, dx\)
الحل:
\(F(x) = x^3 – x^2 + x\)
\(\displaystyle \int_{0}^{2} (3x^2 – 2x + 1) \, dx = F(2) – F(0) = (8 – 4 + 2) – (0) = 6\)
3. طرق التكامل الأساسية (Méthodes d’Intégration)
3.1 التكامل المباشر باستخدام الجدول
نستخدم جدول الدوال الأصلية مباشرة كما في الأمثلة السابقة.
3.2 التكامل بتغيير المتغير (Changement de variable)
\[
\int_{a}^{b} f(u(x)) \cdot u'(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(t) \, dt
\] حيث \(t = u(x)\) و \(dt = u'(x) dx\)
الحل:
نضع \(t = x^2\) → \(dt = 2x \, dx\)
عند \(x=0\) → \(t=0\)، عند \(x=1\) → \(t=1\)
\(I = \displaystyle \int_{0}^{1} e^t \, dt = [e^t]_{0}^{1} = e – 1\)
3.3 التكامل بالتجزئة (Intégration par parties)
\[
\int_{a}^{b} u(x) \cdot v'(x) \, dx = [u(x) \cdot v(x)]_{a}^{b} – \int_{a}^{b} u'(x) \cdot v(x) \, dx
\] نصيحة: اختر \(u\) كدالة “تختفي” عند الاشتقاق (مثل \(x^n\) أو \(\ln x\)) و \(v’\) كدالة يسهل تكاملها (مثل \(e^x\)، \(\sin x\)، \(\cos x\)).
الحل:
نختار: \(u(x) = x\) → \(u'(x) = 1\)
\(v'(x) = e^x\) → \(v(x) = e^x\)
\(I = [x e^x]_{0}^{1} – \int_{0}^{1} e^x \, dx = (1\cdot e – 0) – [e^x]_{0}^{1} = e – (e – 1) = 1\)
4. التكامل والمساحات (Intégrale et Aires)
المساحة المحصورة بين منحنيي دالتين \(f\) و \(g\) والمستقيمين \(x=a\) و \(x=b\) حيث \(f(x) \geq g(x)\) على \([a;b]\) هي:
\\[ \mathcal{A} = \int_{a}^{b} (f(x) – g(x)) \, dx \\]
والمساحة محصورة بالوحدة المربعة (u.a).
الحل:
على \([0;1]\): \(g(x) \geq f(x)\) لأن \(x \geq x^2\)
\(\mathcal{A} = \displaystyle \int_{0}^{1} (x – x^2) \, dx = \left[\dfrac{x^2}{2} – \dfrac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}\) u.a
4.1 المساحة تحت المنحنى
\\[ \mathcal{A} = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \\] إذا كانت \(f\) سالبة، فالمساحة هي \(-\int_{a}^{b} f(x) \, dx\).
5. التكامل والحجوم (Intégrale et Volumes)
حجم المجسم الناتج عن دوران المنطقة المحصورة بين منحنى \(C_f\) ومحور \(Ox\) والمستقيمين \(x=a\) و \(x=b\) حول محور \(Ox\) هو:
\\[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \\]
يقاس الحجم بالوحدة المكعبة (u.v).
الحل:
\(V = \pi \displaystyle \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx = \pi \int_{0}^{4} x \, dx = \pi \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \pi \cdot \dfrac{16}{2} = 8\pi\) u.v
6. تطبيقات في البكالوريا: تمارين محلولة
لتكن \(f\) الدالة المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(f(x) = (x+1)e^x\).
- أحسب \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, dx\).
- استنتج مساحة الحيز المحصور بين \(C_f\) ومحور \(Ox\) والمستقيمين \(x=0\) و \(x=1\).
1. حساب التكامل بالتجزئة:
\(I = \int_{0}^{1} (x+1)e^x \, dx\)
نختار: \(u=x+1 \Rightarrow u’=1\)، \(v’=e^x \Rightarrow v=e^x\)
\(I = [(x+1)e^x]_{0}^{1} – \int_{0}^{1} e^x \, dx = (2e – 1) – [e^x]_{0}^{1} = (2e – 1) – (e – 1) = e\)
2. المساحة: الدالة \(f\) موجبة على \([0;1]\) لأن \(x+1>0\) و \(e^x>0\)، إذن:
\(\mathcal{A} = \int_{0}^{1} f(x) \, dx = e\) u.a
لتكن \(f\) الدالة المعرفة على \(]0;+\infty[\) بـ \(f(x) = \dfrac{\ln x}{x}\).
- أحسب \(\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \, dx\) (استخدم تغيير المتغير \(t = \ln x\)).
- فسر هندسياً المساحة \(\mathcal{A} = \int_{1}^{e} f(x) \, dx\).
1. حساب التكامل:
\(I = \displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{x} \, dx\)
نضع: \(t = \ln x \Rightarrow dt = \dfrac{dx}{x}\)
عند \(x=1 \Rightarrow t=0\)، عند \(x=e \Rightarrow t=1\)
\(I = \displaystyle \int_{0}^{1} t \, dt = \left[\dfrac{t^2}{2}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{2}\)
2. التفسير الهندسي: المساحة المحصورة بين منحنى \(C_f\) ومحور \(Ox\) والمستقيمين \(x=1\) و \(x=e\) تساوي \(\dfrac{1}{2}\) u.a.
لتكن \(f\) الدالة المعرفة على \(\mathbb{R}\) بـ \(f(x) = (x^2 – 2x + 2)e^x\).
- أحسب \(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) \, dx\).
- أحسب المساحة المحصورة بين \(C_f\) والمستقيم \((d): y = 2e^x\) والمستقيمين \(x=0\) و \(x=1\).
1. حساب التكامل (تكامل بالتجزئة مرتين):
\(I = \int_{0}^{1} (x^2 – 2x + 2)e^x \, dx\)
المرة الأولى: \(u = x^2 – 2x + 2 \Rightarrow u’ = 2x – 2\)، \(v’ = e^x \Rightarrow v = e^x\)
\(I = [(x^2 – 2x + 2)e^x]_{0}^{1} – \int_{0}^{1} (2x – 2)e^x \, dx\)
\(= ((1 – 2 + 2)e – (2)) – \int_{0}^{1} (2x – 2)e^x \, dx = (e – 2) – J\)
المرة الثانية لحساب J: \(u = 2x – 2 \Rightarrow u’ = 2\)، \(v’ = e^x \Rightarrow v = e^x\)
\(J = [(2x – 2)e^x]_{0}^{1} – \int_{0}^{1} 2e^x \, dx = (0 – (-2)) – 2[e^x]_{0}^{1} = 2 – 2(e – 1) = 4 – 2e\)
إذن: \(I = (e – 2) – (4 – 2e) = e – 2 – 4 + 2e = 3e – 6\)
2. المساحة:
\(g(x) = 2e^x\)، \(f(x) = (x^2 – 2x + 2)e^x\)
نحسب الفرق: \(g(x) – f(x) = (2 – (x^2 – 2x + 2))e^x = (-x^2 + 2x)e^x = x(2 – x)e^x\)
على \([0;1]\): \(x(2-x)e^x \geq 0\) (لأن كل العوامل موجبة)، إذن \(g(x) \geq f(x)\)
\(\mathcal{A} = \int_{0}^{1} (g(x) – f(x)) \, dx = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x)e^x \, dx\)
نلاحظ أن: \(\int_{0}^{1} (-x^2 + 2x – 2 + 2)e^x \, dx = \int_{0}^{1} (-(x^2 – 2x + 2) + 2)e^x \, dx\)
\(= -\int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{0}^{1} 2e^x \, dx = -(3e – 6) + 2(e – 1) = -3e + 6 + 2e – 2 = 4 – e\) u.a
لتكن \(f\) الدالة المعرفة على \(]0;+\infty[\) بـ \(f(x) = \dfrac{1}{x} + \ln x\).
- أحسب \(\displaystyle \int_{1}^{e} f(x) \, dx\).
- أحسب المساحة المحصورة بين \(C_f\) ومحور \(Ox\) والمستقيمين \(x=1\) و \(x=e\). (علماً أن \(f(x) \geq 0\) على \([1;e]\))
1. تكامل:
\(I = \int_{1}^{e} \left(\dfrac{1}{x} + \ln x\right) dx = \int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \, dx + \int_{1}^{e} \ln x \, dx\)
\(\int_{1}^{e} \dfrac{1}{x} \, dx = [\ln x]_{1}^{e} = 1 – 0 = 1\)
لحساب \(\int_{1}^{e} \ln x \, dx\) نستعمل التكامل بالتجزئة:
\(u = \ln x \Rightarrow u’ = \dfrac{1}{x}\)، \(v’ = 1 \Rightarrow v = x\)
\(\int_{1}^{e} \ln x \, dx = [x \ln x]_{1}^{e} – \int_{1}^{e} 1 \, dx = (e \cdot 1 – 0) – [x]_{1}^{e} = e – (e – 1) = 1\)
إذن: \(I = 1 + 1 = 2\)
2. المساحة: \(\mathcal{A} = I = 2\) u.a
أحسب \(\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \cos^2 x \, dx\).
نلاحظ أن \((\cos x)’ = -\sin x\)، إذن نضع: \(t = \cos x \Rightarrow dt = -\sin x \, dx\)
عند \(x=0 \Rightarrow t=1\)، عند \(x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0\)
\(I = \displaystyle \int_{1}^{0} t^2 \cdot (-dt) = \int_{0}^{1} t^2 \, dt = \left[\dfrac{t^3}{3}\right]_{0}^{1} = \dfrac{1}{3}\)
7. تمارين إضافية مع الإجابات القصيرة
| التمرين | الإجابة |
|---|---|
| \(\displaystyle \int_{0}^{1} (2x + 3)^4 \, dx\) | \(\dfrac{5^5 – 3^5}{10} = \dfrac{3125 – 243}{10} = \dfrac{2882}{10} = 288.2\) |
| \(\displaystyle \int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^2} \, dx\) | \(\left[-\dfrac{1}{x}\right]_{1}^{2} = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\) |
| \(\displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{e^x}{1+e^x} \, dx\) | \([\ln(1+e^x)]_{0}^{1} = \ln(1+e) – \ln 2 = \ln\left(\dfrac{1+e}{2}\right)\) |
| \(\displaystyle \int_{0}^{\pi} \sin x \, dx\) | \([-\cos x]_{0}^{\pi} = -(-1) – (-1) = 2\) |
| \(\displaystyle \int_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx\) (IPP) | \(1 – \dfrac{2}{e}\) |
8. ملخص شامل (جدول الخلاصة)
| المفهوم | القاعدة / الصيغة |
|---|---|
| الدالة الأصلية | \(F'(x) = f(x)\) → \(\int f(x) \, dx = F(x) + C\) |
| التكامل المحدد | \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)\) |
| المساحة تحت المنحنى | \(\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx\) |
| المساحة بين منحنيين | \(\mathcal{A} = \int_{a}^{b} |f(x) – g(x)| \, dx\) |
| حجم مجسم الدوران | \(V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx\) |
| التكامل بالتجزئة (IPP) | \(\int u v’ = [uv] – \int u’ v\) |
| تغيير المتغير | \(\int_{a}^{b} f(u(x)) u'(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(t) \, dt\) |
9. نصائح للتلميذ قبل الامتحان 🎯
- احفظ جدول الدوال الأصلية جيداً – هو أساس التكامل ولا يمكن الاستغناء عنه.
- تدرب على IPP (التكامل بالتجزئة) – أكثر تقنية تطلب في البكالوريا، خاصة مع الدوال من نوع \(P(x)e^x\) أو \(P(x)\ln x\).
- اختيار u و v’ – قاعدة بسيطة: u هي الدالة التي “تبسط” عند الاشتقاق (كثيرة الحدود، \(\ln x\))، v’ هي الدالة التي يسهل تكاملها (\(e^x\)، \(\sin x\)، \(\cos x\)).
- تأكد من إشارة المساحة – المساحة تكون دائماً موجبة. استخدم القيمة المطلقة عند الحاجة.
- لا تنس ثابت التكامل C – في الدوال الأصلية، أضف C دائماً.
- الحجم = π × تكامل مربع الدالة – تذكر معامل π في حساب الحجوم.
- التكامل بتغيير المتغير – هو الحل الأمثل عندما ترى مشتقة داخل الدالة (مثل \(2x\) مع \(x^2\)).
🔗 روابط مفيدة: دراسة الدوال العددية | النهايات والاستمرارية | المعادلات التفاضلية