الرياضيات الجامعية — الجبر الخطي: الفضاءات المتجهة

الرياضيات الجامعية — الجبر الخطي: الفضاءات المتجهة

تعتبر الفضاءات المتجهة (Vector Spaces) من المفاهيم الأساسية في الجبر الخطي، وهي تمثل بنية رياضية تتكون من مجموعة من المتجهات التي يمكن جمعها وضربها في أعداد قياسية. يُستخدم مفهوم الفضاءات المتجهة في العديد من المجالات مثل الفيزياء والهندسة وعلوم الحاسوب.

تعريف الفضاء المتجهي

الفضاء المتجهي V على حقل F (مثل الأعداد الحقيقية ℝ) هو مجموعة مزودة بعمليتين: الجمع (+) بين المتجهات، والضرب في عدد قياسي (·). يجب أن تحقق هذه العمليات مجموعة من البديهيات مثل الإغلاق، والتجميع، والتبديل، ووجود العنصر المحايد، ووجود المعاكس.

أمثلة على الفضاءات المتجهة

• ℝⁿ: مجموعة المتجهات ذات n من المركبات الحقيقية.
• ℝᵐˣⁿ: مجموعة المصفوفات ذات m سطر و n عمود.
• ℙₙ: مجموعة كثيرات الحدود من الدرجة ≤ n.
• C[a,b]: مجموعة الدوال المستمرة على الفترة [a,b].

الفضاءات الجزئية (Subspaces)

الفضاء الجزئي W ⊂ V هو مجموعة جزئية من V تكون بحد ذاتها فضاءً متجهاً تحت عمليات V. الشرط الأساسي: W يجب أن يكون مغلقاً تحت الجمع والضرب في قياسي. أمثلة: المستقيمات والمستويات المارة بنقطة الأصل في ℝ³.

الاستقلال الخطي والأساس والبعد

مجموعة من المتجهات {v₁, v₂, …, vₙ} هي مستقلة خطياً إذا كانت المعادلة a₁v₁ + a₂v₂ + … + aₙvₙ = 0 تؤدي إلى أن جميع المعاملات aᵢ = 0. الأساس (Basis) هو مجموعة مستقلة خطياً تولد الفضاء. البعد (Dimension) هو عدد المتجهات في أي أساس للفضاء.

للمزيد حول الجبر الخطي، راجعوا درس المصفوفات والعمليات و درس النهايات والاتصال.

---

📍 دروس مشابهة

• التربية العلمية والتكنولوجية — التلقيح عند النبات — السنة الثالثة إبتدائي — المن
• Français – Les verbes pronominaux au present – 2ème Année Moyenne – Programme Al
• التاريخ والجغرافيا – الحضارة الإغريقية: أثينا واسبارطة – السنة الأولى متوسط – ال