الرياضيات — الترتيب والقيم المطلقة: أساسيات — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

مفهوم الترتيب في R والقيمة المطلقة أساسيان في دراسة الدوال وحل المتراجحات.

1. الترتيب في R

العلاقات > و < و >= و <= تسمى علاقات ترتيب. خصائصها:

• إذا كان a <= b و b <= c فإن a <= c (متعدية).
• إذا كان a <= b فإن a + c <= b + c لكل c (المرتبة بإضافة عدد).
• إذا كان a <= b و c > 0 فإن a.c <= b.c.
• إذا كان a <= b و c < 0 فإن a.c >= b.c (عكس الإشارة).

2. المجالات والفترات

أنواع المجالات في R:

• مجال مغلق: [a, b] = {x: a <= x <= b}.
• مجال مفتوح: ]a, b[ = {x: a < x < b}.
• مجال نصف مفتوح: [a, b[ = {x: a <= x < b}.
• مجال غير منته: ]a, +inf[ = {x: x > a}.

3. القيمة المطلقة

القيمة المطلقة لعدد حقيقي x هي: |x| = x إذا x >= 0, |x| = -x إذا x < 0.

خصائص: |a.b| = |a|.|b|, |a/b| = |a|/|b| (b != 0), |a+b| <= |a| + |b|.

المسافة بين a و b على المستقيم العددي: d(a, b) = |a-b|.

4. حل متراجحات القيمة المطلقة

|x| <= a مع a > 0 يعني -a <= x <= a.

|x| >= a مع a > 0 يعني x <= -a أو x >= a.

|x – c| <= r يعني أن x في المجال [c-r, c+r] (المسافة من x إلى c <= r).

5. مثال بكالوريا

بكالوريا 2020 (شعبة علوم تجريبية): حل في R المتراجحات التالية:
(1) |x – 3| <= 2. (2) |2x + 1| > 5.

الحل:
(1) |x-3| <= 2 يعني -2 <= x-3 <= 2 يعني 1 <= x <= 5. إذن S = [1, 5].

(2) |2x+1| > 5 يعني 2x+1 < -5 أو 2x+1 > 5. يعني x < -3 أو x > 2. إذن S = ]-inf, -3[ U ]2, +inf[.