الرياضيات — المتتاليات العددية: تعريف ورتيبة — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية أو جزء منها. تمثل المتتاليات أداة أساسية في الرياضيات لدراسة الظواهر المتغيرة بشكل متقطع.

1. تعريف المتتالية العددية

المتتالية العددية (u_n) هي تطبيق من ℕ (أو جزء من ℕ) نحو ℝ. نرمز للمتتالية بـ (u_n)_{n∈ℕ} أو ببساطة (u_n). يسمى n الرتبة، و u_n الحد العام للمتتالية.

مثال: u_n = 2n + 1. الحدود الأولى: u_0 = 1, u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 7, …

2. طرق تعريف المتتالية

التعريف بالحد العام (صريح): u_n = f(n) حيث f دالة. مثال: u_n = n² + 1.

التعريف بالتراجع (تكرار): u_{n+1} = f(u_n) مع معرفة u_0. مثال: u_0 = 1, u_{n+1} = 2u_n + 1.

3. رتيبة المتتالية

متتالية (u_n) تكون:

• متزايدة إذا كان u_{n+1} ≥ u_n لكل n. أي u_{n+1} – u_n ≥ 0.
• متناقصة إذا كان u_{n+1} ≤ u_n لكل n. أي u_{n+1} – u_n ≤ 0.
• ثابتة إذا كان u_{n+1} = u_n لكل n.

طريقة دراسة الرتيبة: ندرس إشارة الفرق u_{n+1} – u_n. إذا كان الفرق موجباً فالمتتالية متزايدة، وإذا كان سالباً فمتناقصة.

مثال: u_n = 3n + 2. u_{n+1} – u_n = 3(n+1) + 2 – (3n + 2) = 3 > 0، إذن (u_n) متزايدة تماماً.

4. المتتالية الحسابية

متتالية (u_n) حسابية إذا وجد عدد حقيقي r (الأساس) بحيث: u_{n+1} = u_n + r. الحد العام: u_n = u_0 + n·r. مجموع الحدود: S_n = u_0 + u_1 + … + u_n = (n+1)(u_0 + u_n)/2.

5. المتتالية الهندسية

متتالية (u_n) هندسية إذا وجد عدد حقيقي q (الأساس) بحيث: u_{n+1} = q·u_n. الحد العام: u_n = u_0·q^n. مجموع الحدود: S_n = u_0 + u_1 + … + u_n = u_0·(1 – q^{n+1})/(1 – q) إذا q ≠ 1.

6. مثال بكالوريا

بكالوريا 2022 (شعبة علوم تجريبية): نعتبر المتتالية (u_n) المعرفة بـ u_0 = 2 و u_{n+1} = 2u_n – 1.
(1) احسب u_1, u_2, u_3.
(2) بين أن المتتالية (v_n) حيث v_n = u_n – 1 هي متتالية هندسية أساسها 2.
(3) اكتب u_n بدلالة n.
(4) احسب S_n = u_0 + u_1 + … + u_n بدلالة n.
الحل:
(1) u_1 = 3, u_2 = 5, u_3 = 9.
(2) v_{n+1} = u_{n+1} – 1 = 2u_n – 2 = 2(u_n – 1) = 2v_n. إذن (v_n) هندسية أساسها 2 وحدها الأول v_0 = 1.
(3) v_n = 2^n, إذن u_n = 2^n + 1.
(4) S_n = Σ(2^k + 1) = (2^{n+1} – 1) + (n+1) = 2^{n+1} + n.