مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية — تحليل العبارات التربيعية — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم) — الرياضيات — المنهاج الجزائري
المعادلات من الدرجة الثانية (المعادلات التربيعية) هي معادلات من الشكل ax² + bx + c = 0 حيث a ≠ 0. هذا الدرس أساسي في الرياضيات للسنة الأولى ثانوي ويمهد لدراسة الدوال التربيعية والتحليل الرياضي.
أولاً: تعريف المعادلة من الدرجة الثانية
المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد x هي معادلة تكتب على الشكل: ax² + bx + c = 0 حيث a, b, c أعداد حقيقية و a ≠ 0.
- a: معامل x²
- b: معامل x
- c: الحد الثابت
ثانياً: حل المعادلة باستخدام المميز Δ (دلتا)
المميز Δ = b² − 4ac
- إذا كان Δ > 0: للمعادلة حلان حقيقيان مختلفان:
- إذا كان Δ = 0: للمعادلة حل حقيقي مزدوج:
- إذا كان Δ < 0: لا حلول حقيقية (حلان عقديان مترافقان).
x₁ = (−b + √Δ) / (2a) و x₂ = (−b − √Δ) / (2a)
x₀ = −b / (2a)
ثالثاً: تحليل العبارة التربيعية إلى جداء عوامل
إذا كان x₁ و x₂ هما حلا المعادلة ax² + bx + c = 0، فإن:
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)
إذا كان Δ = 0: ax² + bx + c = a(x − x₀)²
رابعاً: إشارة ثلاثي الحدود ax² + bx + c
إشارة العبارة التربيعية تتعلق بإشارة a وقيمة Δ:
- إذا كان Δ > 0: العبارة من إشارة a خارج الحلين، ومن إشارة −a بينهما.
- إذا كان Δ = 0: العبارة من إشارة a لكل x ≠ x₀، وتنعدم عند x₀.
- إذا كان Δ < 0: العبارة من إشارة a لكل x (لا تنعدم أبداً).
خامساً: المتراجحات من الدرجة الثانية
لحل متراجحة من الدرجة الثانية (مثل ax² + bx + c ≥ 0):
- نحسب المميز Δ ونجد الحلول إن وجدت.
- نحدد إشارة العبارة التربيعية.
- نأخذ المجالات المناسبة حسب إشارة المتراجحة.
سادساً: مثال بكالوريا
تمرين بكالوريا (دورة 2022): حل في ℝ المعادلة 2x² − 5x + 2 = 0.
الحل:
a = 2، b = −5، c = 2
Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4×2×2 = 25 − 16 = 9 > 0
√Δ = 3
x₁ = (5 + 3) / (2×2) = 8/4 = 2
x₂ = (5 − 3) / (2×2) = 2/4 = 1/2
إذن S = {1/2, 2}
تحقق: 2×(2)² − 5×2 + 2 = 8 − 10 + 2 = 0 ✓
2×(½)² − 5×½ + 2 = 0.5 − 2.5 + 2 = 0 ✓
تمرين إضافي: حل المتراجحة x² − 4x + 3 < 0.
Δ = 16 − 12 = 4 > 0، x₁ = 3، x₂ = 1
إشارة x² − 4x + 3: a = 1 > 0، موجب خارج الحلين وسالب بينهما.
إذن: x² − 4x + 3 < 0 ⇔ 1 < x < 3
S = ]1, 3[
خلاصة
المعادلات والمتراجحات من الدرجة الثانية أساسية في الرياضيات وتستخدم في الفيزياء (حركة المقذوفات) والاقتصاد (دوال الربح) والهندسة. إتقان حلها ضروري لمواصلة الدراسة في الشعب العلمية.
دروس مشابهة
- الرياضيات — الحساب — السنة الرابعة متوسط
- الرياضيات — الحجوم والسعات (قياس الحجم والسعة) — السنة الخامسة ابتدائي — المنهاج
- الرياضيات — السنة الثالثة ابتدائي — قراءة الوقت وقراءة الساعة (الدقائق والساعات)
