المتجهات — جمع وطرح المتجهات وعلاقة شال مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

المتجهات (Les vecteurs) أداة رياضية مهمة تستخدم في الفيزياء والهندسة والملاحة. في هذا الدرس نتعرف على مفهوم المتجهة وخصائصها وكيفية جمعها وطرحها باستخدام علاقة شال.

أهداف الدرس

• تعريف المتجهة وتمثيلها البياني
• التعرف على خصائص المتجهات
• جمع المتجهات باستخدام قاعدة متوازي الأضلاع وعلاقة شال
• طرح المتجهات
• تطبيق المفاهيم على مسائل متنوعة

أولاً: تعريف المتجهة

المتجهة (vecteur) هي قطعة مستقيمة موجهة لها ثلاث خصائص:

• الاتجاه: خط حامل المتجهة.
• المنحى (الجهة): من نقطة البداية إلى نقطة النهاية.
• الطويلة (المقدار): طول القطعة المستقيمة.

نرمز للمتجهة بـ AB⃗ حيث A نقطة البداية و B نقطة النهاية.

ثانياً: المساواة بين المتجهات

نقول إن المتجهتين AB⃗ و CD⃗ متساويتان إذا كان لهما نفس الاتجاه ونفس المنحى ونفس الطويلة، أي أن AB⃗ = CD⃗.

ثالثاً: جمع المتجهات

1. علاقة شال (Relation de Chasles)

علاقة شال هي القاعدة الأساسية لجمع المتجهات. تنص على أنه مهما كانت النقط A و B و C:

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗

ومعناه: الانتقال من A إلى B ثم من B إلى C يعادل الانتقال مباشرة من A إلى C.

2. قاعدة متوازي الأضلاع

لجمع متجهتين u⃗ و v⃗ لهما نفس نقطة البداية A:

1. نرسم المتجهة u⃗ من A إلى B.
2. نرسم المتجهة v⃗ من A إلى D.
3. نبني متوازي الأضلاع ABCD.
4. المتجهة AC⃗ هي مجموع u⃗ + v⃗ (قطر متوازي الأضلاع).

رابعاً: طرح المتجهات

طرح المتجهات هو عملية جمع معاكس المتجهة:

u⃗ − v⃗ = u⃗ + (−v⃗)

حيث −v⃗ هي متجهة معاكسة لـ v⃗ (نفس الاتجاه والطويلة ولكن عكس المنحى).

خامساً: خصائص جمع المتجهات

الخاصية	التعبير
التجميعية	(u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗)
التبديلية	u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗
العنصر المحايد	u⃗ + 0⃗ = u⃗
العنصر المعاكس	u⃗ + (−u⃗) = 0⃗

أمثلة محلولة

مثال 1: جمع بسيط

احسب AB⃗ + BC⃗ + CD⃗:

الحل:

AB⃗ + BC⃗ = AC⃗ (علاقة شال)

AC⃗ + CD⃗ = AD⃗ (علاقة شال)

إذن: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AD⃗

مثال 2: تبسيط تعبير

بسط التعبير: AB⃗ + CA⃗ + BC⃗

الحل:

AB⃗ + CA⃗ + BC⃗ = (AB⃗ + BC⃗) + CA⃗ = AC⃗ + CA⃗ = 0⃗

مثال 3: إثبات علاقة

أثبت أن AB⃗ + CD⃗ = AD⃗ + CB⃗

الحل:

AB⃗ = AD⃗ + DB⃗ (علاقة شال)

CD⃗ = CB⃗ + BD⃗ (علاقة شال)

AB⃗ + CD⃗ = AD⃗ + DB⃗ + CB⃗ + BD⃗

= AD⃗ + CB⃗ + (DB⃗ + BD⃗) = AD⃗ + CB⃗ + 0⃗ = AD⃗ + CB⃗

خلاصة الدرس

• المتجهة قطعة مستقيمة موجهة لها طول ومنحى واتجاه.
• علاقة شال: AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
• جمع المتجهات يمكن بقاعدة متوازي الأضلاع أو علاقة شال.
• طرح المتجهات: u⃗ − v⃗ = u⃗ + (−v⃗).
• جمع المتجهات تبديلي وتجميعي.

تمارين

1. احسب: AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ + DE⃗
2. بسط: AB⃗ − AC⃗
3. أثبت أن: AB⃗ + BC⃗ + CA⃗ = 0⃗
4. إذا كان ABCD متوازي أضلاع، فأثبت أن: AB⃗ + AD⃗ = AC⃗
5. احسب: 3u⃗ + 2v⃗ − u⃗ − v⃗

درس: المتجهات — جمع وطرح المتجهات — الرياضيات — السنة الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري