التناسبية العكسية — مفهومها وتمثيلها البياني وتطبيقاتها مع أمثلة وتمارين محلولة — الرياضيات — السنة الثانية متوسط — المنهاج الجزائري

مفهوم التناسبية العكسية

نقول إن كميتين تتناسبان عكسياً إذا كانت زيادة إحداهما بنسبة معينة تؤدي إلى نقصان الأخرى بنفس النسبة، والعكس صحيح. أي أن جداءهما ثابت.

إذا كانت x و y تتناسبان عكسياً، فإن: x × y = k (حيث k ثابت التناسب العكسي).

نكتب: y = k / x (عندما x ≠ 0)

الفرق بين التناسبية الطردية والتناسبية العكسية

الخاصية	التناسبية الطردية	التناسبية العكسية
العلاقة	y = k × x	y = k / x
جداء x و y	غير ثابت	ثابت (k)
نسبة y إلى x	ثابتة	غير ثابتة
التمثيل البياني	مستقيم يمر بالمبدأ	منحنى (قطع زائد)
مثال	ثمن الكيلوغرام الواحد ثابت	السرعة والزمن لمسافة ثابتة

التمثيل البياني للتناسبية العكسية

التمثيل البياني للدالة y = k/x هو منحنى يسمى القطع الزائد، ويتكون من فرعين. لا يقطع المحورين أبداً (يقترب منهما كلما ابتعد).

أمثلة محلولة

مثال 1:

إذا كانت y تتناسب عكسياً مع x، وكان y = 6 عندما x = 4. أحسب قيمة y عندما x = 8.
الحل:
x × y = k → k = 4 × 6 = 24
عندما x = 8: y = 24/8 = 3

مثال 2:

تقطع سيارة مسافة 120 km في 3 ساعات. إذا زادت السرعة إلى الضعف، كم تستغرق من وقت لقطع نفس المسافة؟
الحل:
السرعة والزمن متناسبان عكسياً (لثبات المسافة).
السرعة الأولى = 120/3 = 40 km/h
السرعة الجديدة = 2 × 40 = 80 km/h
الزمن الجديد = 120/80 = 1.5 ساعة (أي نصف الزمن الأول)

مثال 3:

يكمل 6 عمال بناء جداراً في 10 أيام. كم يوماً يحتاج 15 عاملاً لإنجاز نفس العمل (بافتراض أن جميع العمال بنفس الكفاءة)؟
الحل:
عدد العمال والزمن متناسبان عكسياً.
k = 6 × 10 = 60
عندما عدد العمال = 15: الزمن = 60/15 = 4 أيام

تمارين محلولة

التمرين 1:

يملأ صنبور خزاناً في 6 ساعات. إذا فتحنا 3 صنابير متطابقة معاً، أحسب الزمن اللازم لملء نفس الخزان.
الحل:
عدد الصنابير والزمن متناسبان عكسياً.
k = 1 × 6 = 6
الزمن = 6/3 = ساعتان

التمرين 2:

جدول القيم التالي يمثل تناسباً عكسياً بين x و y. أحسب قيمة a و b.

x	2	4	a	10
y	20	b	5	4

الحل:
k = 2 × 20 = 40
عندما x = 4: b = 40/4 = 10
عندما y = 5: a = 40/5 = 8

التمرين 3:

قام مزارع بتوزيع 120 kg من الأسمدة على حقله. إذا كانت كمية السماد لكل متر مربع تتناسب عكسياً مع مساحة الحقل، أحسب مساحة الحقل علماً أن كمية السماد للمتر المربع هي 0.5 kg.
الحل:
المساحة × كمية السماد للمتر المربع = الكمية الكلية
المساحة × 0.5 = 120
المساحة = 120/0.5 = 240 m²

خلاصة الدرس

• تتناسب كميتان عكسياً إذا كان جداؤهما ثابتاً: x × y = k
• العلاقة: y = k / x
• مثال: السرعة والزمن لمسافة ثابتة، عدد العمال وزمن الإنجاز
• التمثيل البياني: قطع زائد (منحنى لا يقطع المحورين)
• عند مضاعفة إحدى الكميتين، تنقسم الأخرى إلى النصف

📍 دروس مشابهة

• الدائرة والمثلث القائم — نظرية طالس في الدائرة (زاوية قائمة في نصف دائرة) مع أمث
• الدائرة — تعريفها وخصائصها وعلاقة نصف القطر بالوتر وتمارين محلولة — الرياضيات —
• نظرية فيثاغورس في المثلث القائم — شرح قاعدة فيثاغورس مع أمثلة وتمارين محلولة — ا