الرياضيات — الاشتقاق (Dérivation): تعريف المشتقة واشتقاق الدوال الأساسية وقواعد الاشتقاق مع تمارين بكالوريا محلولة — الثانية ثانوي — المنهاج الجزائري

الأهداف التعليمية

• فهم مفهوم العدد المشتق ودلالته الهندسية
• إتقان حساب مشتقة الدوال الأساسية (حدودية، جذرية، ناطقة)
• تطبيق قواعد الاشتقاق (الجمع، الضرب، القسمة، المركب)
• تحديد معادلة المماس لمنحنى دالة

1. مفهوم العدد المشتق

العدد المشتق لدالة f عند النقطة x0 هو نهاية معدل التغير عندما يؤول h إلى الصفر:

f(x0) = lim(h->0) (f(x0+h) – f(x0))/h

هندسياً، العدد المشتق f(x0) هو ميل المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة M0(x0, f(x0)).

2. مشتقات الدوال الأساسية

الدالة f(x)	المشتقة f(x)
c (ثابت)	0
x	1
x^n	n * x^(n-1)
1/x	-1/x^2
sqrt(x)	1/(2*sqrt(x))

3. قواعد الاشتقاق

• جمع الدوال: (u + v) = u + v
• ضرب دالة في ثابت: (k . u) = k . u
• ضرب دالتين: (u . v) = u.v + u.v
• قسمة دالتين: (u/v) = (u.v – u.v)/v^2 (حيث v(x) != 0)

4. معادلة المماس

معادلة المماس للمنحنى Cf عند النقطة x0 هي:

y = f(x0)(x – x0) + f(x0)

5. تمارين بكالوريا محلولة

التمرين 1:

احسب مشتقة الدالة f(x) = 3x^4 – 5x^3 + 2x – 7.

الحل:
f(x) = 3 * 4x^3 – 5 * 3x^2 + 2 – 0
f(x) = 12x^3 – 15x^2 + 2

التمرين 2 (بكالوريا):

احسب مشتقة الدالة f(x) = (2x – 1)(x^2 + 3).

الحل: نضع u(x) = 2x – 1 => u(x) = 2
v(x) = x^2 + 3 => v(x) = 2x
f(x) = u.v + u.v = 2(x^2 + 3) + (2x – 1)(2x)
= 2x^2 + 6 + 4x^2 – 2x = 6x^2 – 2x + 6

التمرين 3 (بكالوريا):

أوجد معادلة المماس لمنحنى الدالة f(x) = x^2 – 3x + 2 عند النقطة x0 = 1.

الحل:
f(x) = 2x – 3 => f(1) = 2(1) – 3 = -1
f(1) = 1 – 3 + 2 = 0
معادلة المماس: y = -1(x – 1) + 0 = -x + 1

💡 ملخص: الاشتقاق أداة أساسية في التحليل الرياضي. تذكر أن المشتقة تمثل ميل المماس، وتستخدم في دراسة تغيرات الدوال.

📚 دروس مشابهة

• نهايات الدوال العددية: مفهوم النهاية والعمليات عليها وحالات عدم التعيين
• المعادلات والمتراجحات التي تتضمن القيمة المطلقة