المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية: طرق الحل – الرياضيات — السنة الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم وتكنولوجيا) — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية: طرق الحل

المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية هي معادلة تحتوي على المشتقة الثانية (y”) وقد تحتوي على المشتقة الأولى (y’) والدالة (y). الصيغة العامة: a y” + b y’ + c y = f(x) حيث a و b و c ثوابت. تستخدم هذه المعادلات في نمذجة الحركة التذبذبية والدوائر الكهربائية.

المعادلة المتجانسة (f(x) = 0)

لحل المعادلة a y” + b y’ + c y = 0، نكتب المعادلة المميزة: a r2 + b r + c = 0. نحسب المميز Delta = b2 – 4ac:

• إذا كان Delta > 0: جذران حقيقيان r1 و r2. الحل العام: y = C1 e^(r1 x) + C2 e^(r2 x)
• إذا كان Delta = 0: جذر مزدوج r. الحل العام: y = (C1 + C2 x) e^(r x)
• إذا كان Delta < 0: جذران عقديان r = a +- i b. الحل العام: y = e^(a x)[C1 cos(b x) + C2 sin(b x)]

مثال تطبيقي

حل المعادلة: y” – 5y’ + 6y = 0. المعادلة المميزة: r2 – 5r + 6 = 0. Delta = 25 – 24 = 1 > 0. الجذران: r1 = 2, r2 = 3. الحل العام: y = C1 e^(2x) + C2 e^(3x).

تمارين

1. حل المعادلات التفاضلية: (أ) y” – 4y’ + 3y = 0، (ب) y” + 6y’ + 9y = 0، (جـ) y” + 4y = 0.
2. أوجد الحل الخاص لـ y” – y’ – 2y = 0 إذا كان y(0) = 2 و y'(0) = 1.

خلاصة

المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية أدوات رياضية قوية تستخدم في الفيزياء والهندسة. تعتمد طريقة الحل على جذور المعادلة المميزة، وتتنوع أشكال الحلول بين الأسية والمثلثية حسب طبيعة الجذور.

---

📍 دروس مشابهة

• اللغة العربية – الصرف: الصفة المشبهة واسم التفضيل – الأولى ثانوي – آداب
• أسلوب النداء: أدواته وأنواع المنادى وأحكامه الإعرابية مع تمارين — الأولى ثانوي (
• علوم الطبيعة والحياة — الإطراح عند الإنسان — الأولى ثانوي (جذع مشترك علوم) —