المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية: المفاهيم الأساسية – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية: المفاهيم الأساسية

المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية هي معادلات تحتوي على المشتقة الثانية لدالة مجهولة. لها تطبيقات واسعة في الفيزياء والهندسة. هذا الدرس لتلاميذ السنة الثالثة ثانوي شعبة علوم تجريبية.

تعريف المعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية

هي معادلة تربط بين دالة مجهولة y(x) ومشتقاتها حتى الرتبة الثانية. تكتب على الشكل: y” = f(x, y, y’).

المعادلة التفاضلية الخطية من الرتبة الثانية

الصورة العامة: y” + a(x)y’ + b(x)y = c(x). إذا كانت c(x)=0 نقول أنها متجانسة.

حل المعادلة y” + ω²y = 0

الحل العام: y(x) = A.sin(ωx) + B.cos(ωx) حيث A و B ثوابت.

مثال تطبيقي

حل المعادلة y” + 4y = 0 مع y(0)=1 و y'(0)=0.
الحل: y(x) = A.sin(2x) + B.cos(2x). من الشروط: y(0)=B=1, y'(0)=2A=0 → A=0. إذن: y(x) = cos(2x).

تمارين

تمرين 1: حل المعادلة y” + 9y = 0.
تمرين 2: حل y” – 5y’ + 6y = 0.
تمرين 3: حل y” + y = 0 مع y(0)=0 و y(π/2)=1.

المعادلات التفاضلية: مفاهيم وحلول أساسية ← راجع درس المعادلات التفاضلية

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى ← راجع درس المعادلات التفاضلية