المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: طرق الحل – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: طرق الحل

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى تربط بين دالة ومشتقتها الأولى. لها تطبيقات في الفيزياء والكيمياء والاقتصاد.

تعريف

المعادلة التفاضلية من الرتبة الأولى تكتب y’ = f(x,y). حلها هو إيجاد الدالة y(x) التي تحقق هذه المعادلة.

المعادلات ذات المتغيرات المنفصلة

y’ = g(x)h(y) → dy/h(y) = g(x)dx → ∫ dy/h(y) = ∫ g(x)dx + C. مثال: y’ = 2xy → dy/y = 2xdx → ln|y| = x² + C → y = Ce^(x²).

المعادلات الخطية

y’ + p(x)y = q(x). نحسب عامل التكامل μ(x) = e^(∫p(x)dx). الحل: y = (1/μ(x)) ∫ μ(x)q(x)dx + C/μ(x).

تطبيقات

النمو الأسي (y’ = ky): يستخدم في النمو السكاني والفائدة المركبة. قانون التبريد لنيوتن: معدل تغير درجة الحرارة يتناسب مع الفرق بين درجة حرارة الجسم والمحيط. التحلل الإشعاعي: y’ = -ky حيث k ثابت التحلل.

تمارين

1. حل y’ = 3y
2. حل y’ + 2y = x (معادلة خطية)
3. عدد البكتيريا يتضاعف كل ساعة. إذا كان العدد الأولي 100، اكتب المعادلة التفاضلية وحدد العدد بعد 5 ساعات.