المعادلات التفاضلية: مفاهيم وحلول أساسية – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المعادلات التفاضلية: مفاهيم وحلول أساسية

المعادلة التفاضلية (Differential Equation) هي معادلة تربط بين دالة ومشتقاتها. تستخدم لنمذجة الظواهر الطبيعية المتغيرة مثل النمو السكاني والاضمحلال الإشعاعي والتيار الكهربائي وحركة النواس. تعتبر حجر الزاوية في الفيزياء الرياضية والهندسة.

تعريف

معادلة تفاضلية تحتوي على دالة مجهولة y(x) ومشتقاتها من مختلف الرتب. مثال:
dy/dx = 2x ← معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى.
d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = 0 ← معادلة من الرتبة الثانية.

الرتبة والدرجة

• الرتبة (Order): أعلى مشتقة في المعادلة.
• الدرجة (Degree): أس أعلى مشتقة بعد ضرب المقامات.

أنواع المعادلات التفاضلية

• المعادلات التفاضلية العادية (ODE): تحتوي على مشتقات لدالة في متغير واحد.
• المعادلات التفاضلية الجزئية (PDE): تحتوي على مشتقات جزئية لدالة في عدة متغيرات.
• الخطية (Linear): المعادلة والمشتقات من الدرجة الأولى.
• غير الخطية: تحتوي على جداء أو قوى للدالة أو مشتقاتها.

حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى

1. الفصل المتغيرات (Separation of Variables):
dy/dx = g(x)h(y) → dy/h(y) = g(x)dx
مثال: dy/dx = 2xy → dy/y = 2xdx → ln|y| = x² + C → y = Ce^(x²).

2. المعادلات الخطية من الرتبة الأولى:
dy/dx + P(x)y = Q(x)
الحل: y = e^(-∫Pdx) [ ∫Q·e^(∫Pdx) dx + C ]

تطبيقات فيزيائية

قانون نيوتن للتبريد: dT/dt = -k(T – T₀) حيث T درجة الحرارة، T₀ حرارة المحيط.
الاضمحلال الإشعاعي: dN/dt = -λN حيث N عدد الذرات المشعة.
التيار في دائرة RL: L·di/dt + Ri = V.

تمارين

1. حل المعادلة التفاضلية: dy/dx = 3x² مع الشرط y(0) = 5.
2. حل: dy/dx = 2y باستخدام فصل المتغيرات.
3. مادة مشعة عمر النصف لها 10 سنوات. اكتب المعادلة التفاضلية التي تصف اضمحلالها.
4. حل المعادلة الخطية: dy/dx + 2y = 6.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة المائية: الكائنات الحية في الماء، كما يمكنك الاطلاع على التلوث وأنواعه وتأثيره على الصحة والبيئة.