الهندسة الفضائية: المستقيمات والمستويات في الفضاء – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الهندسة الفضائية: المستقيمات والمستويات في الفضاء

الهندسة الفضائية (Spatial Geometry) تدرس الأشكال الهندسية في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تعتمد على استخدام المتجهات لوصف المستقيمات والمستويات والنقاط في الفضاء. لها تطبيقات في الهندسة المدنية والمعمارية والرسوميات الحاسوبية والملاحة.

تمثيل النقطة والمتجه في الفضاء

النقطة في الفضاء تمثل بثلاثة إحداثيات (x, y, z). المتجه بين نقطتين A(x₁, y₁, z₁) و B(x₂, y₂, z₂) هو AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁).

المستقيم في الفضاء

يمكن تمثيل المستقيم بعدة طرق:
التمثيل البارامتري: M = A + t·v حيث A نقطة على المستقيم، v متجه توجيه، t وسيط حقيقي.
(x, y, z) = (x₀, y₀, z₀) + t(a, b, c)
التمثيل الديكارتي: في حالة مستقيم معرف بمستويين متقاطعين.

المستوي في الفضاء

التمثيل البارامتري: M = A + t·u + s·v حيث u و v متجهان غير مرتبطين خطياً.
المعادلة الديكارتية: ax + by + cz + d = 0 حيث n = (a, b, c) متجه ناظم للمستوي.
المستوي الذي يمر بالنقطة (x₀, y₀, z₀) وناظمه n = (a, b, c): a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0.

الوضع النسبي بين المستقيمات والمستويات

• مستقيمان في الفضاء: متوازيان (v₁ || v₂)، متقاطعان (يشتركان في نقطة)، متخالفان (غير متوازيين ولا متقاطعين).
• مستقيم ومستوي: متوازيان (v · n = 0)، متقاطعان في نقطة، المستقيم داخل المستوي.
• مستويان: متوازيان (n₁ || n₂)، متقاطعان في خط مستقيم، متطابقان.

المسافات في الفضاء

مسافة نقطة عن مستقيم: d = |AM × v| / |v|.
مسافة نقطة عن مستوي: d = |ax₀ + by₀ + cz₀ + d| / √(a² + b² + c²).

تمارين

1. أوجد المعادلة البارامترية للمستقيم المار بالنقطة A(1, 2, 3) والموجه v = (2, -1, 4).
2. أوجد معادلة المستوي المار بالنقطة P(2, -1, 3) وناظمه n = (1, 2, -2).
3. احسب المسافة بين النقطة Q(3, 1, -2) والمستوي 2x – y + 2z – 6 = 0.
4. ادرس الوضع النسبي للمستقيم (x-1)/2 = (y+1)/-1 = (z-2)/3 والمستوي x + 2y – z = 4.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على النظام البيئي: مكوناته وتوازنه.