الدوال المثلثية: تمثيل الدوال sin و cos و tan وخصائصها – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الدوال المثلثية: تمثيل الدوال sin و cos و tan – الرياضيات

الدوال المثلثية sin, cos, tan هي دوال دورية أساسية في الرياضيات والتطبيقات الفيزيائية. نتعلم تمثيلها وخصائصها.

1. الدالة sin(x)

دالة الجيب f(x) = sin(x) معرفة على ℝ. مداها [-1, 1]. دورها 2π. الدالة فردية: sin(-x) = -sin(x). أصفارها عند x = kπ (k ∈ Z). قيمتها القصوى 1 عند x = π/2 + 2kπ. قيمتها الدنيا -1 عند x = -π/2 + 2kπ.

2. الدالة cos(x)

دالة جيب التمام f(x) = cos(x) معرفة على ℝ. مداها [-1, 1]. دورها 2π. الدالة زوجية: cos(-x) = cos(x). أصفارها عند x = π/2 + kπ. قيمتها القصوى 1 عند x = 2kπ.

3. الدالة tan(x)

دالة الظل f(x) = tan(x) = sin(x)/cos(x). معرفة على ℝ {π/2 + kπ}. دورها π. مداها ℝ. لها خطوط مقاربة عمودية عند x = π/2 + kπ.

4. العلاقات المثلثية الهامة

• sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
• cos(a + b) = cos(a)cos(b) – sin(a)sin(b)
• sin(2a) = 2 sin(a) cos(a)
• cos(2a) = cos²(a) – sin²(a) = 2cos²(a) – 1 = 1 – 2sin²(a)

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: أوجد دور الدالة f(x) = sin(2x).

التمرين 2: احسب sin(π/12) باستخدام sin(π/3 – π/4).

التمرين 3: حل المعادلة cos(x) = 1/2 في [0, 2π].

6. الحلول

حل 1: دور f(x) = sin(2x) هو 2π/2 = π.

حل 2: sin(π/12) = sin(π/3 – π/4) = sin(π/3)cos(π/4) – cos(π/3)sin(π/4) = (√3/2)(√2/2) – (1/2)(√2/2) = (√6 – √2)/4.

حل 3: cos(x) = 1/2. x = π/3 أو x = 5π/3.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.