مبرهنة فيثاغورس: النظرية والعكس والتطبيقات — الثالثة متوسط

مبرهنة فيثاغورس: النظرية والعكس والتطبيقات

مبرهنة فيثاغورس من أشهر المبرهنات في الرياضيات، تصل بين أضلاع المثلث القائم الزاوية.

1. نص المبرهنة

في مثلث قائم الزاوية، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي طولي الضلعين الآخرين. BC² = AB² + AC² (حيث A الزاوية القائمة).

2. عكس المبرهنة

إذا كان مربع أطول ضلع في مثلث يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين، فالمثلث قائم الزاوية. يستخدم للتحقق من قائمة المثلث.

3. تطبيقات عملية

حساب أطوال الأضلاع غير المعروفة. حساب المسافة بين نقطتين في المستوى (المسافة = √((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)). البناء: التأكد من أن الزاوية قائمة (مثلث 3-4-5). الملاحة: حساب المسافة المباشرة.

4. ثلاثيات فيثاغورس

مجموعات من ثلاثة أعداد تحقق المبرهنة: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17), (7,24,25). يمكن توليدها باستخدام: a = m²-n², b = 2mn, c = m²+n².

مثال

مثلث أضلاعه 6, 8, 10. هل هو قائم؟ 10² = 100. 6²+8² = 36+64 = 100. إذن المثلث قائم (الزاوية المقابلة للضلع 10 هي القائمة).

تمارين

1. أوجد الوتر في مثلث قائم ضلعاه القائمان 5cm و 12cm.
2. مثلث أضلاعه 9, 12, 15. هل هو قائم الزاوية؟
3. سلك طوله 13m يصل قمة عامود بأرض تبعد 5m عن قاعدة العامود. جد ارتفاع العامود.