التفاضل والتكامل: قواعد الاشتقاق والتكامل والتطبيقات — الثالثة ثانوي

التفاضل والتكامل: قواعد الاشتقاق والتكامل والتطبيقات

التفاضل والتكامل هما فرعان أساسيان من التحليل الرياضي. الاشتقاق يدرس معدل التغير، بينما التكامل يدرس المساحات والحجوم. يرتبط الفرعان بقوة من خلال النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل.

1. مفهوم المشتقة

مشتقة الدالة f عند النقطة a هي: f′(a) = lim(h→0) (f(a+h) – f(a))/h إذا كانت النهاية موجودة. تمثل المشتقة ميل المماس لمنحنى الدالة عند تلك النقطة.

2. قواعد الاشتقاق الأساسية

(c)′ = 0 (مشتقة ثابت)
(xⁿ)′ = n×xⁿ⁻¹
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = -sin x
(eˣ)′ = eˣ
(ln x)′ = 1/x
(u+v)′ = u′ + v′
(u×v)′ = u′v + uv′ (قاعدة الجداء)
(u/v)′ = (u′v – uv′)/v² (قاعدة الخارج)

3. مفهوم التكامل

التكامل غير المحدد: ∫f(x)dx = F(x) + C حيث F′(x) = f(x). التكامل المحدد: ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) – F(a) ويمثل المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور الفواصل.

4. قواعد التكامل الأساسية

∫xⁿdx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ -1)
∫(1/x)dx = ln|x| + C
∫eˣdx = eˣ + C
∫sin x dx = -cos x + C
∫cos x dx = sin x + C

5. تطبيقات التفاضل والتكامل

يستخدم التفاضل والتكامل في: إيجاد القيم القصوى للدوال، حساب المساحات والحجوم، دراسة الحركة (السرعة والتسارع)، تحليل المنحنيات، الفيزياء (الشغل والطاقة)، والهندسة.

مثال تطبيقي

مثال: أحسب ∫₀¹ x² dx.
الحل: ∫x²dx = x³/3 + C. إذن ∫₀¹ x²dx = [1³/3 – 0³/3] = 1/3.

تمارين

أحسب مشتقة الدالة: f(x) = x³ + 2x² – 5x + 1
أحسب: ∫(3x² + 2x)dx
أحسب المساحة تحت منحنى f(x) = x² من x=0 إلى x=2
أوجد النقاط الحرجة للدالة: f(x) = x³ – 3x + 1

للمزيد من الشرح، راجع درس النهايات والاستمرارية ودرس راسة الدوال العددية.

التفاضل والتكامل: قواعد الاشتقاق والتكامل والتطبيقات — الثالثة ثانوي