النهايات والاستمرارية: قواعد الحساب والتطبيقات — الثانية ثانوي

النهايات والاستمرارية: قواعد الحساب والتطبيقات

تعتبر النهايات والاستمرارية من المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وهي تمهد الطريق لفهم المشتقات والتكاملات. سنتعرف في هذا الدرس على مفهوم النهاية والاستمرارية وكيفية حسابهما.

1. مفهوم النهاية

نهاية دالة f(x) عندما تؤول x إلى عدد a هي القيمة التي تقترب منها f(x) كلما اقتربت x من a. نكتب: lim(x→a) f(x) = L. قد تكون النهاية منتهية أو غير منتهية.

2. قواعد حساب النهايات

• نهاية مجموع: lim(f+g) = lim f + lim g
• نهاية جداء: lim(f×g) = lim f × lim g
• نهاية خارج: lim(f/g) = lim f / lim g (بشرط lim g ≠ 0)
• نهاية مركب: lim(g∘f)(x) = g(lim f(x))

3. حالات عدم التعيين

هناك عدة حالات عدم تعيين يجب معرفتها: ∞-∞, 0/0, ∞/∞, 0×∞, 1^∞, ∞^0, 0^0. لحل هذه الحالات نستخدم تقنيات مثل: التحليل إلى عوامل، الضرب في المرافق، استعمال النهايات الأساسية.

4. الاستمرارية

تكون الدالة f متصلة عند النقطة a إذا تحقق: f(a) معرفة، lim(x→a) f(x) موجودة، و lim(x→a) f(x) = f(a). الدوال الحدودية والدوال المثلثية والأسية هي دوال متصلة على مجالات تعريفها.

5. مبرهنة القيم المتوسطة

إذا كانت f متصلة على [a;b] و f(a)×f(b) < 0، فإن المعادلة f(x) = 0 تقبل حلاً واحداً على الأقل في ]a;b[. هذه المبرهنة أساسية لإثبات وجود حلول للمعادلات.

مثال تطبيقي

مثال: أحسب lim(x→2) (x²-4)/(x-2).
الحل: النهاية من نوع 0/0. نحلل: x²-4 = (x-2)(x+2). إذن lim(x→2) (x-2)(x+2)/(x-2) = lim(x→2) (x+2) = 4.

تمارين

1. أحسب: lim(x→+∞) (3x²-2x+1)/(x²+5)
2. أحسب: lim(x→0) sin(3x)/x
3. ادرس استمرارية الدالة f(x) = |x-1| عند x = 1
4. بين أن المعادلة x³ – 3x + 1 = 0 تقبل حلاً في ]0;1[

للمزيد من المعلومات، راجع درس مقدمة في النهايات ودرس راسة الدوال العددية.