الرياضيات — الهندسة الفضائية: الجداء المختلط وحجم متوازي المستطيلات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الهندسة الفضائية: الجداء المختلط وحجم متوازي المستطيلات

الجداء المختلط (المحدد) لثلاثة متجهات u, v, w هو كمية قياسية: (u×v)·w = u·(v×w). قيمته المطلقة تعطي حجم متوازي المستطيلات المحصور بين المتجهات الثلاثة.

حساب الجداء المختلط

إذا كانت u(x₁,y₁,z₁), v(x₂,y₂,z₂), w(x₃,y₃,z₃)، فإن: (u×v)·w = |x₁ y₁ z₁; x₂ y₂ z₂; x₃ y₃ z₃| (محدد المصفوفة). إذا كان الجداء المختلط = 0، فالمتجهات في مستو واحد (مرتبطة خطياً).

تطبيقات

حجم متوازي المستطيلات: V = |(u×v)·w|. حجم الهرم الثلاثي: V = ¹/₆|(u×v)·w|. شرط أن النقاط A,B,C,D في مستو واحد: AB·(AC×AD) = 0.

تمارين

1. u(1,0,0), v(0,1,0), w(0,0,1). احسب الجداء المختلط والحجم.
2. النقاط A(1,1,1), B(2,3,2), C(3,1,3), D(4,2,1). هل النقاط في مستو واحد؟
3. احسب حجم الهرم الذي رؤوسه (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1).

للمزيد: الهندسة الفضائية و الدوال الأسية.