الجبر الخطي: المصفوفات والفضاءات المتجهة

مقدمة في الجبر الخطي

الجبر الخطي (Linear Algebra) هو فرع الرياضيات الذي يدرس الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية. يعتبر أداة أساسية في معظم فروع الرياضيات والهندسة والفيزياء وعلوم الحاسوب والاقتصاد.

المصفوفات

المصفوفة هي ترتيب مستطيل من الأعداد أو الرموز. أنواعها: صف، عمود، مربعة، قطرية، وحدة، متماثلة. العمليات عليها: الجمع، الضرب، القسمة (باستخدام المصفوفة العكسية)، والمحددات.

الفضاءات المتجهة

فضاء متجهي هو مجموعة من المتجهات مزودة بعمليتي الجمع والضرب بعدد حقيقي، تحقق بديهيات معينة. أمثلة: R²، R³، فضاء كثيرات الحدود، فضاء المصفوفات.

التحويلات الخطية

دالة T: V → W بين فضاءين متجهيين تحقق: T(u+v) = T(u)+T(v) و T(cv) = cT(v). تمثل بمصفوفة، وتشمل الدوران والانعكاس والتمدد.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

للمصفوفة A، القيمة الذاتية λ تحقق: Av = λv حيث v متجه غير صفري. تستخدم في تحليل الاهتزازات، نظرية الشبكات، التعلم الآلي (PCA)، ومعادلات التفاضل.

للاستزادة في الرياضيات، اقرأ التفاضل والتكامل أساسيات و الميكانيكا الكلاسيكية وقوانين نيوتن.