التحليل العددي: طرق حل المعادلات

مقدمة في التحليل العددي

التحليل العددي (Numerical Analysis) هو دراسة الخوارزميات التي تستخدم التقريب العددي لحل المشكلات الرياضية المستمرة. يهدف إلى إيجاد حلول تقريبية بدقة مقبولة عندما تعجز الطرق التحليلية.

طرق حل المعادلات غير الخطية

• طريقة التنصيف (Bisection): تقسم الفترة التي تحتوي على الجذر إلى نصفين وتكرر. بطيئة لكنها مضمونة التقارب.
• طريقة نيوتن-رافسون (Newton-Raphson): تستخدم المشتقة لتقريب الجذر. سريعة التقارب لكنها تحتاج لحساب المشتقة.
• طريقة القاطع (Secant): تشبه نيوتن لكن بدون حاجة للمشتقة.

طرق حل أنظمة المعادلات الخطية

طرق مباشرة (حذف غاوس، تحليل LU)، وطرق تكرارية (طريقة جاكوبي، طريقة غاوس-سايدل). الطرق التكرارية مناسبة للأنظمة الكبيرة المتناثرة.

الاستيفاء والتقريب

استيفاء لاغرانج، استيفاء نيوتن بالفرق التقسيمية، خطوط بيزير، وتقريب المربعات الصغرى (Least Squares). تستخدم في معالجة الإشارات والصور.

التكامل العددي

طرق المستطيل، شبه المنحرف، سيمبسون، وجاوس-لوجاندر. تستخدم لتقريب التكاملات المحددة التي يصعب حسابها تحليلياً.

للاستزادة، راجع التفاضل والتكامل أساسيات و هياكل البيانات والخوارزميات.