الرياضيات — الهندسة الفضائية: مخروط الدوران (المساحة والحجم) — الرابعة متوسط — المنهاج الجزائري

مقدمة

مخروط الدوران هو مجسم ناتج عن دوران مثلث قائم حول أحد ضلعي القائمة. سنتعلم حساب المساحة الجانبية والكلية وحجم مخروط الدوران.

مكونات مخروط الدوران

• القاعدة: دائرة نصف قطرها r.
• الرأس: النقطة العليا للمخروط.
• الارتفاع (h): المسافة العمودية من الرأس إلى مركز القاعدة.
• المولد (g): المسافة من الرأس إلى أي نقطة على محيط القاعدة.

مساحة مخروط الدوران

المساحة الجانبية = π × r × g
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة = π × r × g + π × r²

مثال 1: مخروط نصف قطر قاعدته 3 cm ومولده 5 cm. احسب مساحته الجانبية والكلية (π ≈ 3.14).
الحل: المساحة الجانبية = 3.14 × 3 × 5 = 47.1 cm².
مساحة القاعدة = 3.14 × 9 = 28.26 cm².
المساحة الكلية = 47.1 + 28.26 = 75.36 cm².

حجم مخروط الدوران

حجم المخروط = (π × r² × h) ÷ 3

مثال 2: مخروط نصف قطر قاعدته 4 cm وارتفاعه 9 cm. احسب حجمه.
الحل: الحجم = (3.14 × 16 × 9) ÷ 3 = (452.16) ÷ 3 = 150.72 cm³.

العلاقة بين r, h, g

بما أن المخروط يتكون من مثلث قائم، فإن: g² = r² + h² (نظرية فيثاغورس).

مثال 3: مخروط ارتفاعه 12 cm ونصف قطر قاعدته 5 cm. احسب طول المولد.
الحل: g² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169، إذن g = 13 cm.

تمارين تطبيقية

التمرين 1: مخروط نصف قطر قاعدته 6 cm وارتفاعه 8 cm. احسب طول المولد والمساحة الكلية والحجم.

التمرين 2: مخروط حجمه 100π cm³ ونصف قطر قاعدته 5 cm. احسب ارتفاعه.

الخلاصة

مخروط الدوران من المجسمات المهمة مع تطبيقات في الحياة (مثل المخروط المروري، آيس كريم). للمزيد، راجع درس المكعب ومتوازي المستطيلات و درس حجم الموشور القائم.

📍 دروس مشابهة:

• علوم — القمر: مراحله وشكله — السنة الأولى ابتدائي
• الفيزياء — دارة RL: الوشيعة والتحريض الذاتي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• مقدمة في الخوارزميات — حل المشكلات خطوة بخطوة — الإعلام الآلي — السنة الأولى متوسط — المنهاج الجزائري