الرياضيات — المتتاليات: رتابة المتتالية وتقاربها — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المتتاليات: رتابة المتتالية وتقاربها

مقدمة

المتتالية العددية (u_n) هي تطبيق من ℕ إلى ℝ. بعد تعريف المتتالية وطرق توليدها، ندرس رتابتها ونهايتها.

رتابة المتتالية

• متزايدة: u_n+1 ≥ u_n لكل n
• متناقصة: u_n+1 ≤ u_n لكل n
• ثابتة: u_n+1 = u_n لكل n

لدراسة الرتابة نحسب u_n+1 – u_n أو ندرس (u_n+1)/u_n إذا u_n > 0.

متتالية مكبورة ومصغورة

المتتالية مكبورة إذا وجد M حيث u_n ≤ M لكل n. مصغورة إذا وجد m حيث u_n ≥ m. محدودة إذا كانت مكبورة ومصغورة معاً.

نهاية متتالية

المتتالية (u_n) تؤول إلى L إذا أمكن جعل u_n قريباً من L بزيادة n. إذا كانت المتتالية متزايدة ومكبورة فإنها متقاربة (نظرية).

مثال

u_n+1 = √(u_n + 2) مع u₀ = 0. نبرهن بالتراجع أن 0 ≤ u_n ≤ 2 وأن u_n+1 ≥ u_n (متزايدة ومكبورة → متقاربة).

تمارين

1. ادرس رتابة: u_n = n² – 3n + 2
2. ادرس رتابة: u_n = (-1)ⁿ
3. u₀=1 و u_n+1=(u_n+2)/3. برهن أن u_n متقاربة.

خلاصة

المتتاليات أساسية في التحليل الرياضي ولها تطبيقات في المالية والفيزياء. للمزيد: المتتاليات العددية: تعريف وأنواع – المتتالية الحسابية: تعريف وخصائص