الجداء السلمي والجداء المتجهي في المستوي – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شععة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الجداء السلمي والجداء المتجهي في المستوي

الجداء السلمي (Dot Product) والجداء المتجهي (Cross Product) عمليتان مهمتان على المتجهات في المستوي والفضاء. الجداء السلمي يعطي كمية سلمية، بينما الجداء المتجهي يعطي كمية متجهة. لهما تطبيقات في الفيزياء والهندسة.

الجداء السلمي (Scalar Product)

إذا كان u = (x₁, y₁) و v = (x₂, y₂)، فإن:
u · v = x₁x₂ + y₁y₂
أو u · v = |u| × |v| × cos θ حيث θ الزاوية بين المتجهين.
خصائص الجداء السلمي:
– إذا كان u · v = 0، فالمتجهان متعامدان.
– u · u = |u|² (مربع المقدار).
– الجداء السلمي عملية تبديلية: u · v = v · u.

الجداء المتجهي (Cross Product)

في المستوي، يعطى الجداء المتجهي كمية سلمية تمثل مساحة متوازي الأضلاع.
u × v = x₁y₂ – x₂y₁
أو |u × v| = |u| × |v| × sin θ.
خصائص الجداء المتجهي:
– إذا كان u × v = 0، فالمتجهان متوازيان.
– الجداء المتجهي عملية تبديلية مع تغيير الإشارة: u × v = -(v × u).

تطبيقات

إيجاد الزاوية بين متجهين: cos θ = (u · v) / (|u| × |v|).
حساب المساحة: مساحة متوازي الأضلاع = |u × v|.
العمودي: إيجاد متجه عمودي على متجهين (في الفضاء).

مثال تطبيقي

للمتجهين u = (3, 4) و v = (2, -1):
1. الجداء السلمي: u·v = 3×2 + 4×(-1) = 6 – 4 = 2.
2. الجداء المتجهي: u×v = 3×(-1) – 4×2 = -3 – 8 = -11.
3. الزاوية: |u| = 5, |v| = √5. cos θ = 2/(5√5) → θ ≈ 79.7°.

تمارين

1. للمتجهين u = (1, 5) و v = (-2, 3)، احسب الجداء السلمي والجداء المتجهي والزاوية بينهما.
2. أوجد قيمة k التي تجعل المتجهين (2, k) و (3, 6) متعامدين.
3. احسب مساحة المثلث الذي رؤوسه A(1, 1), B(4, 5), C(7, 2).
4. أثبت أن (u·v)² + (u×v)² = |u|² × |v|².

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة المائية: الكائنات الحية في الماء، كما يمكنك الاطلاع على التلوث وأنواعه وتأثيره على الصحة والبيئة.