الأعداد العقدية: تمثيلها وعملياتها – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

الأعداد العقدية: تمثيلها وعملياتها

الأعداد العقدية (Complex Numbers) هي توسيع لمجموعة الأعداد الحقيقية لتشمل حلول المعادلات التي ليس لها حل في الأعداد الحقيقية مثل x² + 1 = 0. للأعداد العقدية تطبيقات واسعة في الهندسة الكهربائية والفيزياء الكمومية ومعالجة الإشارات.

تعريف العدد العقدي

العدد العقدي يكتب على الشكل:
z = a + bi
حيث a و b عددان حقيقيان، و i هي الوحدة التخيلية حيث i² = -1.
a هو الجزء الحقيقي (Re(z))، b هو الجزء التخيلي (Im(z)).

العمليات على الأعداد العقدية

لتكن z₁ = a + bi و z₂ = c + di:
الجمع: z₁ + z₂ = (a+c) + (b+d)i
الطرح: z₁ – z₂ = (a-c) + (b-d)i
الضرب: z₁ × z₂ = (ac – bd) + (ad + bc)i
القسمة: z₁/z₂ = (a+bi)(c-di)/(c²+d²)

المرافق (Conjugate)

مرافق العدد العقدي z = a + bi هو z̄ = a – bi.
خصائص المرافق: z × z̄ = a² + b² (عدد حقيقي).

التمثيل الهندسي

يمكن تمثيل العدد العقدي z = a + bi في المستوى العقدي (مستوى أرجاند) بنقطة إحداثياتها (a, b).
المقياس (Modulus): |z| = √(a² + b²) – المسافة من نقطة الأصل.
العمدة (Argument): θ = arctan(b/a) – الزاوية مع المحور الحقيقي الموجب.

الشكل المثلثي (Trigonometric Form)

z = r(cos θ + i sin θ)
حيث r = |z| و θ = arg(z).
صيغة موافر (De Moivre): (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ).

مثال تطبيقي

لتكن z₁ = 3 + 2i و z₂ = 1 – i:
1. z₁ + z₂ = 4 + i
2. z₁ × z₂ = (3×1 – 2×(-1)) + (3×(-1) + 2×1)i = (3+2) + (-3+2)i = 5 – i
3. |z₁| = √(9+4) = √13
4. z̄₁ = 3 – 2i

تمارين

1. احسب: (2+3i) + (4-5i)، (3-i) × (2+4i)، (1+2i)/(3-i).
2. أوجد مقياس وعمدة العدد العقدي z = 1 + √3·i.
3. اكتب العدد z = -1 + i في الشكل المثلثي.
4. حل المعادلة: z² + 4 = 0 في مجموعة الأعداد العقدية.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة المائية: الكائنات الحية في الماء، كما يمكنك الاطلاع على التلوث وأنواعه وتأثيره على الصحة والبيئة.