المتجهات في الفضاء: الجمع والضرب والجداء السلمي – الرياضيات — السنة الثانية ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — المنهاج الجزائري

المتجهات في الفضاء: الجمع والضرب والجداء السلمي

المتجهات (Vectors) هي كميات رياضية لها مقدار واتجاه. تستخدم في الفيزياء لتمثيل القوة والسرعة والتسارع والإزاحة. في الفضاء ثلاثي الأبعاد، نمثل المتجه بإحداثياته (x, y, z) أو (i, j, k).

تمثيل المتجه

المتجه v في الفضاء يكتب على الشكل:
v = (x, y, z) أو v = xi + yj + zk
حيث i, j, k متجهات الوحدة في اتجاهات المحاور x, y, z على التوالي.
مقدار المتجه: |v| = √(x² + y² + z²).

جمع وطرح المتجهات

v₁ + v₂ = (x₁+x₂, y₁+y₂, z₁+z₂)
v₁ – v₂ = (x₁-x₂, y₁-y₂, z₁-z₂)
التمثيل الهندسي: قاعدة متوازي الأضلاع.

ضرب متجه في عدد حقيقي

k × v = (kx, ky, kz)
إذا كان k > 0، المتجه الناتج في نفس الاتجاه. إذا كان k < 0، في الاتجاه المعاكس.

الجداء السلمي (Dot Product)

الجداء السلمي لمتجهين v₁ · v₂ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |v₁| × |v₂| × cos θ
حيث θ الزاوية بين المتجهين.
– إذا كان v₁ · v₂ = 0، فالمتجهان متعامدان.
– الجداء السلمي يعطي عدداً (سلمياً).

الجداء الاتجاهي (Cross Product)

الجداء الاتجاهي v₁ × v₂ هو متجه عمودي على كل من v₁ و v₂.
v₁ × v₂ = (y₁z₂ – z₁y₂, z₁x₂ – x₁z₂, x₁y₂ – y₁x₂)
|v₁ × v₂| = |v₁| × |v₂| × sin θ
يستخدم لحساب المساحة وعزم القوة.

تطبيقات: القوة والحركة

إذا أثرت قوتان F₁ = (3, 2, 0)N و F₂ = (-1, 4, 5)N على جسم، فمحصلة القوى:
F = F₁ + F₂ = (2, 6, 5)N. مقدار المحصلة: |F| = √(4+36+25) = √65 ≈ 8.06 N.

تمارين

1. احسب 2v₁ – 3v₂ حيث v₁ = (1, -2, 3) و v₂ = (4, 0, -1).
2. أوجد الجداء السلمي للمتجهين u = (2, 1, -3) و v = (4, -2, 1). هل هما متعامدان؟
3. احسب الجداء الاتجاهي u × v لنفس المتجهين وابحث عن مقدار المتجه الناتج.
4. قوتان F₁ = (5, 2, -1)N و F₂ = (-3, 4, 2)N تؤثران على جسم. احسب محصلة القوى ومقدارها.

للمزيد من الدروس العلمية، راجع درس البيئة الصحراوية: تكيفات الكائنات الحية، كما يمكنك الاطلاع على النظام البيئي: مكوناته وتوازنه.