المنطق الرياضي: العبارات والروابط المنطقية وقوانين الاستدلال – الرياضيات — الأولى ثانوي — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المنطق الرياضي: العبارات والروابط المنطقية وقوانين الاستدلال – الرياضيات

المنطق الرياضي هو أساس البرهان الرياضي. يهتم بدراسة قواعد الاستدلال الصحيح والبراهين.

1. العبارة (Proposition)

العبارة هي جملة خبرية تحتمل الصواب أو الخطأ (وليس كليهما). مثال: “2 + 2 = 4” عبارة صائبة. “5 < 3” عبارة خاطئة. “سأذهب غداً” ليست عبارة (لا تحتمل الصواب أو الخطأ الآن).

2. الروابط المنطقية

• النفي (¬): عكس قيمة العبارة. إذا كانت P صائبة ف¬P خاطئة.
• العطف (∧): P ∧ Q صائبة فقط إذا كانت P و Q كلتاهما صائبتين.
• الفصل (∨): P ∨ Q صائبة إذا كانت P أو Q (أو كلاهما) صائبة.
• الاستلزام (⇒): P ⇒ Q خاطئة فقط عندما P صائبة و Q خاطئة.
• التكافؤ (⇔): P ⇔ Q صائبة عندما P و Q لهما نفس قيمة الصواب.

3. جداول الصواب

جدول الصواب يبين قيمة العبارة المركبة لكل القيم الممكنة للمتغيرات.

4. قوانين الاستدلال

• قياس الاستثناء (Modus Ponens): إذا كان P ⇒ Q و P صائب، فإن Q صائب.
• قياس الاستبعاد (Modus Tollens): إذا كان P ⇒ Q و ¬Q صائب، فإن ¬P صائب.
• القیاس المنطقي (Syllogism): إذا كان P ⇒ Q و Q ⇒ R فإن P ⇒ R.

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: أنشئ جدول صواب للعبارة (P ∧ Q) ⇒ P.

التمرين 2: استخدم قوانين الاستدلال: إذا كان “إذا المطر نازل فالشارع مبلول” و “المطر نازل”، ماذا تستنتج؟

التمرين 3: بين أن ¬(P ∨ Q) ⇔ (¬P) ∧ (¬Q) (قانون دي مورجان).

6. الحلول

حل 1: العبارة (P∧Q)⇒P صائبة دائماً (هي قانون منطقي يسمى تبسيط العطف).

حل 2: باستخدام Modus Ponens: الشارع مبلول.

حل 3: باستخدام جدول الصواب، نجد أن العبارتين متكافئتان دائماً.

راجع أيضاً التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.