الدوال الأسية واللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها – الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي (شعبة علوم تجريبية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الدوال الأسية واللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها – الرياضيات

الدوال الأسية واللوغاريتمية من أهم الدوال في الرياضيات وتستخدم في مجالات عديدة كالنمو السكاني والتحلل الإشعاعي.

1. الدالة الأسية

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة f(x) = e^x. مجال تعريفها ℝ ومداها ]0, +∞[. وهي دالة متزايدة تماماً على ℝ.

خاصيات: e^a+b = e^a × e^b، e^a-b = e^a/e^b، (e^a)^b = e^ab. مشتقتها: (e^x)′ = e^x.

2. الدالة اللوغاريتمية الطبيعية

الدالة اللوغاريتمية الطبيعية ln(x) هي الدالة العكسية للدالة الأسية: ln(e^x) = x و e^ln(x) = x. مجال تعريفها ]0, +∞[.

خاصيات: ln(ab) = ln(a) + ln(b)، ln(a/b) = ln(a) – ln(b)، ln(a^b) = b ln(a).

3. الدوال الأسية واللوغاريتمية للأساس a

الدالة الأسية للأساس a (a > 0, a ≠ 1): f(x) = a^x = e^{x ln(a)}.

الدالة اللوغاريتمية للأساس a: log_a(x) = ln(x)/ln(a).

4. النهايات الهامة

• lim_x→+∞ e^x/xⁿ = +∞ (الدالة الأسية تنمو أسرع من أي دالة حدودية)
• lim_x→+∞ ln(x)/xⁿ = 0 (الدالة اللوغاريتمية تنمو أبطأ من أي دالة حدودية)
• lim_x→0 ln(1+x)/x = 1
• lim_x→0 (e^x – 1)/x = 1

5. تمارين تطبيقية

التمرين 1: حل المعادلة e^2x – 3 = 0.

التمرين 2: حل المتراجحة ln(x) > 2.

التمرين 3: احسب مشتقة f(x) = ln(x² + 1).

6. الحلول

حل 1: e^2x = 3 ⇒ 2x = ln(3) ⇒ x = ln(3)/2.

حل 2: ln(x) > 2 ⇒ x > e².

حل 3: f′(x) = (2x)/(x² + 1).

للمزيد من الدروس راجع التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.