مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
التكامل: مفهوم التكامل غير المحدد وطرق حسابه – الرياضيات
التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق. يستخدم التكامل لحساب المساحات والحجوم وحل المعادلات التفاضلية.
1. مفهوم التكامل غير المحدد
التكامل غير المحدد للدالة f(x) هو مجموعة جميع الدوال المشتقة لها. نكتب ∫ f(x) dx = F(x) + C حيث F′(x) = f(x) و C ثابت التكامل.
2. التكاملات الأساسية
- ∫ xn dx = xn+1/(n+1) + C (n ≠ -1)
- ∫ 1/x dx = ln|x| + C
- ∫ ex dx = ex + C
- ∫ sin(x) dx = -cos(x) + C
- ∫ cos(x) dx = sin(x) + C
- ∫ 1/(1+x²) dx = arctan(x) + C
3. طرق التكامل
- التكامل بالتعويض: نستخدم تغيير متغير لتبسيط التكامل
- التكامل بالأجزاء: ∫ u dv = uv – ∫ v du
- التكامل بالتحليل إلى كسور جزئية: للدوال الكسرية
4. التكامل المحدد
التكامل المحدد من a إلى b يرمز له بـ ∫ab f(x) dx ويمثل المساحة تحت المنحني بين x=a و x=b. يحسب باستخدام: F(b) – F(a).
5. تمارين تطبيقية
التمرين 1: احسب ∫ (3x² + 2x) dx.
التمرين 2: احسب ∫01 x² dx.
التمرين 3: احسب ∫ xex dx باستخدام التكامل بالأجزاء.
6. الحلول
حل 1: ∫ (3x² + 2x) dx = x³ + x² + C.
حل 2: ∫01 x² dx = [x³/3]01 = 1/3.
حل 3: u = x, dv = exdx. ∫ xex dx = xex – ∫ ex dx = xex – ex + C.
راجع أيضاً درس التناسبية والدوال الخطية ودرس الدوال المرجعية: دالة المربع والمقلوب.