المتتاليات العددية: المتتاليات الحسابية والهندسية — الثالثة ثانوي

المتتاليات العددية: المتتاليات الحسابية والهندسية

المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية. توجد أنواع مختلفة من المتتاليات، وأهمها المتتاليات الحسابية والهندسية التي تظهر في العديد من التطبيقات الحياتية والعملية.

1. تعريف المتتالية

المتتالية العددية (Uₙ) هي دالة من ℕ إلى ℝ. يمكن تعريفها بعبارة صريحة: Uₙ = f(n) أو بطريقة تراجعية: Uₙ₊₁ = f(Uₙ) مع إعطاء الحد الأول U₀.

2. المتتالية الحسابية

متتالية يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتاً: Uₙ₊₁ – Uₙ = r (r هو الأساس). العبارة العامة: Uₙ = U₀ + n×r. مجموع أول n حد: Sₙ = n×(U₀ + Uₙ₋₁)/2.

3. المتتالية الهندسية

متتالية يكون خارج قسمة كل حدين متتاليين ثابتاً: Uₙ₊₁/Uₙ = q (q هو النسبة). العبارة العامة: Uₙ = U₀×qⁿ. مجموع أول n حد: Sₙ = U₀×(1-qⁿ)/(1-q) حيث q ≠ 1.

4. رتابة المتتاليات

متتالية حسابية: تزايدية إذا r > 0، متناقصة إذا r < 0، ثابتة إذا r = 0. متتالية هندسية: تزايدية إذا q > 1 و U₀ > 0، متناقصة إذا 0 < q < 1 و U₀ > 0.

5. نهايات المتتاليات

المتتالية الحسابية: نهايتها +∞ إذا r > 0، -∞ إذا r < 0. المتتالية الهندسية: نهايتها 0 إذا |q| < 1، +∞ إذا q > 1، ليس لها نهاية إذا q ≤ -1.

مثال تطبيقي

مثال: متتالية حسابية حدها الأول U₀ = 3 وأساسها r = 2. جد U₁₀.
الحل: Uₙ = U₀ + n×r. U₁₀ = 3 + 10×2 = 23.

تمارين

1. متتالية هندسية حدها الأول 5 ونسبتها 3. جد U₅.
2. أحسب مجموع أول 10 حدود من المتتالية الحسابية: 1, 4, 7, 10, …
3. حدد رتابة المتتالية: Uₙ = 3n – 5
4. مثلث قاعدته 10cm وارتفاعه يتضاعف كل مرة. جد الارتفاع بعد 6 مرات.

للمزيد من الشرح، راجع درس النهايات والاستمرارية ودرس النهايات والاستمرارية.