الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتطبيقاتها — الثالثة ثانوي

الدوال اللوغاريتمية: تعريفها وخصائصها وتطبيقاتها

الدوال اللوغاريتمية هي الدوال العكسية للدوال الأسية. تعتبر أداة أساسية في الرياضيات والعلوم، خصوصاً في قياس شدة الزلازل (مقياس ريختر) وحموضة المحاليل (pH).

1. تعريف الدالة اللوغاريتمية

اللوغاريتم الطبيعي (ln) هو الدالة العكسية للدالة الأسية: ln(e^x) = x لكل x ∈ ℝ و e^(ln x) = x لكل x > 0. مجال تعريف ln هو ]0; +∞[. اللوغاريتم العشري (log) للأساس 10 يستخدم بكثرة في التطبيقات العملية.

2. خصائص اللوغاريتمات

• ln(ab) = ln a + ln b
• ln(a/b) = ln a – ln b
• ln(a^n) = n ln a (حيث a > 0)
• ln(1/a) = -ln a
• log_a x = ln x / ln a (تغيير الأساس)

3. دراسة الدالة اللوغاريتمية

الدالة f(x) = ln x: معرفة على ]0; +∞[، تزايدية قطعاً، نهايتها عند 0+ هي -∞ وعند +∞ هي +∞. منحناها يقبل محور التراتيب كمقارب. المعادلة ln x = 0 تعطي x = 1.

4. مشتقة الدالة اللوغاريتمية

(ln x)′ = 1/x لكل x > 0. إذا كانت u(x) > 0، فإن (ln u)′ = u′/u. هذه الخاصية مفيدة جداً في حساب المشتقات.

5. تطبيقات اللوغاريتمات

تستخدم اللوغاريتمات في: مقياس ريختر (شدة الزلازل)، مقياس pH (الحموضة)، قياس شدة الصوت بالديسيبل، تحليل النمو السكاني، وحساب الفائدة المركبة في الاقتصاد.

مثال تطبيقي

مثال: حل المعادلة: ln(2x+1) = 3.
الحل: نرفع طرفي المعادلة للقوة e: 2x+1 = e³. إذن 2x = e³ – 1. x = (e³ – 1)/2.

تمارين

1. بسط: ln 8 + ln 125 – ln 1000
2. حل المعادلة: ln(x+2) + ln(x-1) = ln 4
3. أحسب مشتقة الدالة: f(x) = ln(x² + 1)
4. أوجد مجال تعريف الدالة: f(x) = ln(3x – 6)

للمزيد من الشرح، راجع درس الدوال الأسية ودرس الدوال الأسيّة واللوغاريتمية.