الرياضيات — النهايات: مفهوم نهاية دالة — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

النهايات: مفهوم نهاية دالة

النهايات (Limits) مفهوم أساسي في التحليل الرياضي. تساعد في فهم سلوك دالة عندما يقترب المتغير من قيمة معينة أو عندما يؤول إلى اللانهاية. النهايات هي الأساس الذي بنيت عليه مفاهيم الاشتقاق والتكامل.

نهاية دالة عند نقطة

نقول إن نهاية f(x) عندما تقترب x من a تساوي L إذا أمكن جعل f(x) قريبة من L بقدر ما نريد بجعل x قريبة من a. نكتب: lim f(x) = x→a L. مثال: lim (x→2) (2x+1) = 5. عند الاقتراب من 2، تقترب قيمة 2x+1 من 5. لا يشترط أن تكون الدالة معرفة عند a.

النهايات عند اللانهاية

نهاية f(x) عندما تؤول x إلى +∞ (أو -∞) تصف سلوك الدالة عندما تصبح x كبيرة جدا (أو صغيرة جدا). مثال: lim (x→∞) 1/x = 0. كلما كبرت x، تقترب 1/x من الصفر. النهايات عند اللانهاية تحدد وجود المقاربات الأفقية.

خصائص النهايات

نهاية مجموع: lim (f+g) = lim f + lim g. نهاية جداء: lim (f×g) = lim f × lim g. نهاية خارج: lim (f/g) = lim f / lim g (إذا كان lim g ≠ 0). نهاية دالة مركبة: تعتمد على نهاية الدالتين.

تمارين

تمرين 1: احسب lim (x→3) (x2 – 4x + 5).

تمرين 2: احسب lim (x→∞) (3 – 1/x) و lim (x→0) 1/x2.

للمزيد: الدوال العددية و المقاربات الأفقية والشاقولية.