الرياضيات — الدالة الزوجية والدالة الفردية: تعريف وتمييز — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الدالة الزوجية والدالة الفردية: تعريف وتمييز

تعتبر خاصيتا الزوجية والفردية من الخصائص الهامة للدوال العددية. تسمحان بفهم تناظر منحنى الدالة مما يسهل دراستها وتمثيلها البياني. في هذا الدرس، سنتعرف على تعريف الدالة الزوجية والدالة الفردية وكيفية التمييز بينهما.

تعريف الدالة الزوجية

نقول إن دالة f معرفة على مجال D هي دالة زوجية إذا كان: لكل x من D فإن (-x) ينتمي إلى D و f(-x) = f(x). منحنى دالة زوجية يكون متماثلا بالنسبة لمحور التراتيب (محور y). أمثلة: f(x) = x2 (دالة مربع) و f(x) = |x| (دالة القيمة المطلقة).

تعريف الدالة الفردية

نقول إن دالة f معرفة على مجال D هي دالة فردية إذا كان: لكل x من D فإن (-x) ينتمي إلى D و f(-x) = -f(x). منحنى دالة فردية يكون متماثلا بالنسبة لنقطة الأصل O(0,0). أمثلة: f(x) = x3 و f(x) = 1/x (دالة مقلوب).

كيفية التمييز بين الدالة الزوجية والفردية

لدراسة زوجية دالة f: أولا نتحقق من أن مجال تعريفها متماثل حول الصفر. ثم نحسب f(-x). إذا كان f(-x) = f(x) فالدالة زوجية. إذا كان f(-x) = -f(x) فالدالة فردية. إذا تحققت لا هذا ولا ذاك فالدالة ليست زوجية ولا فردية.

أمثلة محلولة

مثال 1: هل الدالة f(x) = x4 + x2 زوجية أم فردية؟ الحل: f(-x) = (-x)4 + (-x)2 = x4 + x2 = f(x). إذن الدالة زوجية.

مثال 2: هل الدالة g(x) = x3 + x فردية؟ الحل: g(-x) = (-x)3 + (-x) = -x3 – x = -(x3 + x) = -g(x). إذن الدالة فردية.

تمارين

تمرين 1: ادرس زوجية الدالة h(x) = x2 + 1.

تمرين 2: هل الدالة k(x) = x + 1 زوجية أم فردية؟ برر جوابك.

للمزيد من الدروس، راجع: الدوال العددية: المفهوم والتمثيل البياني و القيمة المطلقة: تعريفها وخصائصها.