الرياضيات — الجداء السلمي في المستوي — الأولى ثانوي — المنهاج الجزائري

الجداء السلمي في المستوي

الجداء السلمي هو عملية مهمة في الهندسة التحليلية تسمح بحساب الزوايا والأطوال والإسقاطات. هذا الدرس لتلاميذ السنة الأولى ثانوي.

أولا: تعريف الجداء السلمي

إذا كان لدينا متجهان u(x₁, y₁) و v(x₂, y₂)، فإن جداءهما السلمي هو:

u · v = x₁x₂ + y₁y₂

كما يعرف أيضا بـ: u · v = |u| × |v| × cos(θ)

ثانيا: خصائص الجداء السلمي

• u · v = v · u (تبادلي)
• u · (v + w) = u·v + u·w (توزيعي)
• إذا كان u · v = 0 فإن u ⟂ v (تعامد)
• u · u = |u|²

مثال 1:

u(3, -1) و v(2, 4). احسب u·v ثم الزاوية بينهما.

u·v = 3×2 + (-1)×4 = 6 – 4 = 2

|u| = √(9+1) = √10، |v| = √(4+16) = √20

cos(θ) = 2/(√10 × √20) = 2/√200 = 2/(10√2) = 1/5√2

ثالثا: تطبيقات الجداء السلمي

• إثبات التعامد بين مستقيمين
• حساب المسافة من نقطة إلى مستقيم
• حساب الإسقاط العمودي لمتجه على متجه آخر

تمارين

1. احسب u·v حيث u(2, 5) و v(-3, 4). هل u ⟂ v؟
2. أوجد الزاوية بين المتجهين a(1, 2) و b(-2, 1).
3. أثبت أن المثلث A(1, 2)، B(4, 6)، C(7, 2) قائم الزاوية في B.

للمزيد، راجع درس الحساب الشعاعي: عمليات على الأشعة. كما يمكنك الاطلاع على معادلة مستقيم: الصيغة المخفضة والصريحة.