الرياضيات — الأعداد المركبة: المعادلات والصيغة المثلثية — الثالثة ثانوي — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: المعادلات والصيغة المثلثية

نواصل في هذا الدرس للسنة الثالثة ثانوي دراسة الأعداد المركبة مع التركيز على المعادلات والصيغة المثلثية (de Moivre).

أولا: الصيغة المثلثية لعدد مركب

كل عدد مركب غير معدوم يكتب: z = r(cos θ + i sin θ)

حيث r = |z| = √(a²+b²) هو المعيار و θ = arg(z) = arctan(b/a) هو العمدة.

مثال:

z = 1 + i → r = √2، θ = π/4

z = √2(cos π/4 + i sin π/4)

ثانيا: صيغة دي موافر (De Moivre)

(cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ)

مثال:

(1+i)^6: نكتب z = √2(cos π/4 + i sin π/4)

z^6 = (√2)^6(cos 6π/4 + i sin 6π/4) = 8(cos 3π/2 + i sin 3π/2) = -8i

ثالثا: حل معادلات من الدرجة الثانية

az² + bz + c = 0 مع a, b, c ∈ R

Δ = b² – 4ac. إذا Δ < 0: z = (-b ± i√|Δ|)/2a

تمارين

1. اكتب z = √3 + i بالصيغة المثلثية.
2. احسب (1+i√3)^5 باستخدام صيغة دي موافر.
3. حل المعادلة: z² – 2z + 5 = 0 في C.

للمزيد راجع الأعداد المركبة: العمليات الأساسية و تحليل عبارة من الدرجة الثانية.