الرياضيات — تمارين على الاشتقاق وحساب المشتقات — الأولى ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

تمارين على الاشتقاق وحساب المشتقات

الاشتقاق هو أحد المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي. المشتقة تمثل معدل تغير دالة عند نقطة معينة.

1. تعريف المشتقة

المشتقة f'(a) للدالة f عند النقطة a تعرف بـ: f'(a) = lim(h→0) (f(a+h)-f(a))/h. هندسياً، تمثل ميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة (a,f(a)).

2. جدول المشتقات الأساسية

f(x)=k → f'(x)=0
f(x)=x^n → f'(x)=n.x^(n-1)
f(x)=sqrt(x) → f'(x)=1/(2.sqrt(x))
f(x)=1/x → f'(x)=-1/x^2

3. قواعد الاشتقاق

قاعدة الجمع: (u+v)’ = u’ + v’
قاعدة الجداء: (u×v)’ = u’v + uv’
قاعدة الخارج: (u/v)’ = (u’v – uv’)/v^2

4. أمثلة محلولة

مثال 1: f(x)=3x^2-5x+2. f'(x)=6x-5.

مثال 2: f(x)=x^2/(x+1). f'(x)=((2x)(x+1)-x^2(1))/(x+1)^2 = (2x^2+2x-x^2)/(x+1)^2 = (x^2+2x)/(x+1)^2.

مثال 3: أوجد معادلة المماس لمنحنى f(x)=x^2-3x+1 عند x=2. f(2)=4-6+1=-1. f'(x)=2x-3. f'(2)=1. المعادلة: y+1=1(x-2) أي y=x-3.

5. تمارين

1. احسب مشتقة f(x)=(x^2+1)(x-3).
2. f(x)=(x-2)/(x+3). جد f'(x).
3. أوجد معادلة المماس لـ f(x)=sqrt(x) عند x=4.