الرياضيات — الاحتمالات: قوانين بايز والاحتمال الشرطي — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الاحتمالات: قوانين بايز والاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي وقانون بايز من أهم المفاهيم في نظرية الاحتمالات. يستخدمان في مجالات عديدة مثل التشخيص الطبي والتعلم الآلي واتخاذ القرارات.

الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي لحدث A بشرط وقوع حدث B (حيث P(B) ≠ 0) يعطى بالعلاقة:
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
يقرأ: احتمالية وقوع A علماً أن B قد وقع.

مثال

صندوق يحتوي على 4 كرات حمراء و 6 زرقاء. سحبنا كرتين بدون إرجاع. احسب احتمال أن تكون الثانية حمراء علماً أن الأولى كانت حمراء:
P(الثانية حمراء | الأولى حمراء) = 3/9 = 1/3

الحدثان المستقلان

الحدثان A و B مستقلان إذا وفقط إذا:
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
أو بشكل مكافئ: P(A|B) = P(A)

قانون بايز

قانون بايز هو نتيجة مباشرة لتعريف الاحتمال الشرطي:
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
حيث P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|Ā)P(Ā) (حسب قانون الاحتمال الكلي)

مثال تطبيقي

في مصنع، 2% من المنتجات معيبة. جهاز الكشف يكشف 95% من المنتجات المعيبة (حساسية) ويعطي إنذاراً كاذباً بنسبة 3% للمنتجات السليمة. إذا أعطى الجهاز إنذاراً، ما احتمال أن يكون المنتج معيباً حقاً؟
P(معيب|إنذار) = 0.95×0.02/(0.95×0.02+0.03×0.98) ≈ 0.393 = 39.3%

تمارين

1. صندوق يحتوي على 5 كرات حمراء و 7 سوداء. سحبنا كرتين بدون إرجاع. أحسب احتمال أن تكون الأولى حمراء والثانية سوداء.
2. في دراسة، 60% من الناس يمارسون الرياضة، 30% يتبعون حمية غذائية، 20% يمارسون الرياضة ويتبعون الحمية. أحسب احتمال أن شخصاً يمارس الرياضة يتبع حمية أيضاً.
3. في فحص طبي، احتمال الإصابة بالمرض 1%. الفحص يعطي نتيجة إيجابية لـ 99% من المرضى ولـ 2% من الأصحاء. إذا كانت نتيجة الفحص إيجابية، ما احتمال أن الشخص مصاب؟
4. ألقيت قطعة نقود 3 مرات. أحسب احتمال الحصول على وجهين على الأقل إذا كان الوجه الأول ظهر.

للمزيد من التمارين، راجع درس الاحتمالات: المفاهيم الأساسية ودرس الإحصاء: مقاييس التشتت.

📍 دروس مشابهة:

• الإعلام الآلي — تمارين محلولة في قواعد البيانات SQL — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري
• اللغة العربية – الأفعال المزيدة (أوزانها ومعانيها) – السنة الرابعة إبتدائي – المنهاج الجزائري
• الاطلاع على نتائج الاختبار الكتابي لمشرف التربية 2016