الرياضيات — كثيرات الحدود: تحليل وقسمة كثيرات الحدود — الأولى ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

كثيرات الحدود: تحليل وقسمة كثيرات الحدود

كثير الحدود (polynomial) هو عبارة جبرية من الشكل P(x) = a_nx^n + a_(n-1)x^(n-1) + … + a_1x + a_0 حيث a_i أعداد حقيقية و n عدد طبيعي (درجة كثير الحدود).

قسمة كثيرات الحدود

لقسمة كثير الحدود P(x) على (x-a) نستخدم القسمة الإقليدية أو طريقة هورنر. نكتب:
P(x) = (x-a)Q(x) + R
حيث Q(x) خارج القسمة و R الباقي (عدد ثابت).

نظرية الباقي

باقي قسمة P(x) على (x-a) هو R = P(a).

نظرية العامل

(x-a) عامل لـ P(x) إذا وفقط إذا كان P(a) = 0 (أي a جذر لكثير الحدود).

مثال

P(x) = x³ – 3x² + x + 1. احسب P(1): P(1) = 1 – 3 + 1 + 1 = 0 → (x-1) عامل
بالقسمة: P(x) = (x-1)(x² – 2x – 1)

تحليل كثيرات الحدود

لتحليل كثير حدود من الدرجة الثانية ax²+bx+c:
– نحسب Δ = b² – 4ac
– إذا كان Δ > 0: ax²+bx+c = a(x-x₁)(x-x₂) حيث x₁, x₂ = (-b ± √Δ)/(2a)
– إذا كان Δ = 0: ax²+bx+c = a(x-x₀)²
– إذا كان Δ < 0: لا يمكن التحليل في ℝ

إشارة كثير الحدود

لدراسة إشارة كثير الحدود نحلله ثم ندرس إشارة كل عامل.

تمارين

1. أوجد باقي قسمة P(x) = x⁴ – 2x³ + x² – 3x + 1 على (x-2).
2. تحقق أن x=1 جذر لـ P(x) = x³ – 6x² + 11x – 6 ثم حلل كثير الحدود.
3. حلل كثيرات الحدود التالية:
   أ) x² – 5x + 6
   ب) 2x² + 7x – 15
   ج) x³ – 2x² – 5x + 6
4. حل المعادلات: أ) x³ – 2x² – x + 2 = 0, ب) x⁴ – 5x² + 4 = 0
5. ادرس إشارة P(x) = x³ – 3x² – x + 3.

للاستزادة، راجع درس النشر والتحليل: تبسيط العبارات الجبرية ودرس حل المعادلات من الدرجة الثانية.

📍 دروس مشابهة:

• التربية الاسلامية للسنة الثالثة متوسط
• Alghh AlArabia – Alalwan fy AlArabia (Alahmr, Alazrq, Alakhdr…) – Alsnt Alula Abtdayi – Almnaj Aljazayri
• اللغة العربية — السنة الأولى ابتدائي — حرف الباء (ب) — المنهاج الجزائري