الرياضيات — الجداء السلمي: تعريف وخصائص وتطبيقات — الثانية ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الجداء السلمي: تعريف وخصائص وتطبيقات

الجداء السلمي (Produit scalaire) عملية بين متجهتين تعطي عدداً حقيقياً. يستخدم في الهندسة والفيزياء.

1- تعريف الجداء السلمي

u·v = ||u|| × ||v|| × cos(θ) حيث θ الزاوية بين u و v. بالإحداثيات: u(x1,y1)·v(x2,y2) = x1x2 + y1y2.

2- خصائص

u·v = v·u (تبديلي). u·(v+w) = u·v + u·w (توزيعي). (ku)·v = k(u·v). u·u = ||u||².

3- تعامد متجهتين

u ⟂ v ↔ u·v = 0. شرط تعامد متجهتين: مجموع جداء المركبات = 0.

4- تطبيقات هندسية

حساب الزاوية بين متجهتين: cosθ = (u·v)/(||u||×||v||). إسقاط u على v: proj_v(u) = (u·v)/(v·v) × v.

5- تطبيقات فيزيائية

الشغل: W = F·d (قوة × إزاحة). القدرة: P = F·v. الطاقة الحركية: Ec = ½m||v||².

تمارين محلولة

التمرين 1: u(1,2), v(3,4). u·v = 1×3+2×4=11. ||u||=√5, ||v||=5. cosθ=11/(5√5)=11/(5×2.236)=0.984 → θ≈10.3°.

التمرين 2: هل u(2,1) و v(-1,2) متعامدان؟ u·v = -2+2=0 → نعم.

خلاصة

الجداء السلمي أداة جبرية قوية لحساب الزوايا والأطوال والإسقاطات. يستخدم في الهندسة والفيزياء.