مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تمارين بكالوريا في الدوال المثلثية
الدوال المثلثية (sin, cos, tan) من أهم الدوال في الرياضيات وتكثر أسئلتها في امتحان البكالوريا. هذا الدرس يقدم تمارين متنوعة وشاملة حول الدوال المثلثية مع الحلول التفصيلية.
1. دراسة دالة مثلثية
منهجية دراسة دالة مثلثية: تحديد مجموعة التعريف، التحقق من الدورية والزوجية، حساب النهايات، حساب المشتقة ودراسة الإشارة، جدول التغيرات، التمثيل البياني.
مثال 1: ادرس الدالة f(x) = sin x + cos x على المجال [0, 2π].
الحل: f'(x) = cos x – sin x. f'(x)=0 → cos x = sin x → tan x = 1 → x = π/4 أو x = 5π/4. f(0)=1, f(π/4)=√2, f(π)=-1, f(5π/4)=-√2, f(2π)=1. الدالة متزايدة على [0,π/4] و [5π/4,2π] ومتناقصة على [π/4,5π/4].
2. نهايات الدوال المثلثية
النهايات الأساسية:
lim (sin x)/x = 1 (عندما x→0)
lim (1-cos x)/x² = 1/2 (عندما x→0)
lim sin x / x = 0 (عندما x→∞)
lim sin x غير موجودة (عندما x→∞)
مثال 2: احسب lim (sin 3x)/(2x) عندما x→0.
الحل: lim (sin 3x)/(3x) × 3/2 = 1 × 3/2 = 3/2.
3. المعادلات والمتراجحات المثلثية
المعادلات الأساسية:
sin x = a → x = arcsin a + 2kπ أو x = π – arcsin a + 2kπ
cos x = a → x = arccos a + 2kπ أو x = -arccos a + 2kπ
tan x = a → x = arctan a + kπ
مثال 3: حل المعادلة 2sin²x – 3sin x + 1 = 0 في [0, 2π].
الحل: نضع t = sin x → 2t²-3t+1=0 → t=1 أو t=½. sin x=1 → x=π/2. sin x=½ → x=π/6 أو x=5π/6.
4. تطبيقات متنوعة
مثال 4: أثبت أن sin²x + sin²(60°+x) + sin²(60°-x) = 3/2.
الحل: باستخدام sin²a = (1-cos 2a)/2. المجموع = ½[3-(cos2x+cos(120°+2x)+cos(120°-2x))] = ½[3-(cos2x+2cos120°cos2x)] = ½[3-(cos2x+2(-½)cos2x)] = 3/2.
تمارين متنوعة
- ادرس الدالة f(x) = x + sin x على ℝ.
- احسب: lim (tan x)/x عندما x→0.
- حل المتراجحة: cos x ≥ ½ في [0, 2π].
- أثبت أن: sin(a+b)sin(a-b) = sin²a – sin²b.
- أوجد القيم القصوى والدنيا للدالة f(x) = 2sin x + cos 2x.
- احسب: lim (sin x – x)/x³ عندما x→0.
خلاصة
إتقان الدوال المثلثية يتطلب فهم الدورية والزوجية والنهايات الأساسية وحل المعادلات. ننصح بحل تمارين متنوعة من امتحانات البكالوريا السابقة.