الرياضيات — التحليل التوفيقي: قانون ذي الحدين وتطبيقاته — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الرياضيات — التحليل التوفيقي: قانون ذي الحدين وتطبيقاته

المحتوى العلمي

قانون ذي الحدين (Binomial Theorem) هو صيغة تسمح بتوسيع (x+y)^n إلى مجموع حدود. الصيغة العامة: (x+y)^n = Σ_{k=0}^n C(n,k).x^{n-k}.y^k حيث C(n,k)=n!/(k!(n-k)!) هو معامل ذي الحدين. مثلث باسكال ترتيب هندسي لمعاملات ذي الحدين فعند n=0:1, n=1:1,1, n=2:1,2,1, n=3:1,3,3,1, n=4:1,4,6,4,1 وهكذا. الخصائص: C(n,0)=C(n,n)=1 وC(n,k)=C(n,n-k) وC(n,k)+C(n,k+1)=C(n+1,k+1). التطبيقات: في الاحتمالات (التوزيع ذو الحدين) والتوافيق والحساب العددي التقريبي.

أمثلة تطبيقية

مثال: (x+y)³ = C(3,0)x³ + C(3,1)x²y + C(3,2)xy² + C(3,3)y³ = x³+3x²y+3xy²+y³. مثال تطبيقي: احسب (1.01)⁵ تقريبا = (1+0.01)⁵ = 1+5×0.01+10×0.0001+10×0.000001+5×0.00000001+0.0000000001 ≈ 1+0.05+0.001+0.00001 = 1.05101.

تمارين

التمرين الأول: احسب C(7,3) باستخدام n!/(k!(n-k)!) ثم بمثلث باسكال.
التمرين الثاني: اكتب توسيع (2x-3)^4 باستخدام قانون ذي الحدين.
التمرين الثالث: في تجربة إلقاء قطعة نقود 10 مرات ما احتمال الحصول على 6 مرات وجه بالضبط؟