مدونة التربية و التعليم في الجزائر – دروس، فروض، نتائج امتحانات مدونة التربية والتعليم في الجزائر | تحضير الدروس، فروض واختبارات، نتائج البكالوريا وBEM، مسابقات التوظيف، والتوجيه المدرسي للطلاب وأولياء الأمور.
تمارين في المعادلات والمتراجحات
المعادلات والمتراجحات من أهم أدوات الرياضيات لحل المسائل التطبيقية. هذا الدرس يقدم تمارين شاملة حول المعادلات من الدرجة الأولى والثانية والمتراجحات مع تطبيقات متنوعة.
أولا: معادلات الدرجة الأولى
الصورة العامة: ax + b = 0 (حيث a ≠ 0). الحل: x = -b/a.
مثال 1: حل المعادلة: 3x – 7 = 2x + 5
الحل: 3x – 2x = 5 + 7 → x = 12.
ثانيا: معادلات الدرجة الثانية
الصورة العامة: ax² + bx + c = 0 (حيث a ≠ 0).
المميز: Δ = b² – 4ac.
إذا كان Δ > 0: حلان حقيقيان x₁ = (-b+√Δ)/(2a)، x₂ = (-b-√Δ)/(2a).
إذا كان Δ = 0: حل مضاعف x = -b/(2a).
إذا كان Δ < 0: حلان عقديان.
مثال 2: حل: 2x² – 5x + 2 = 0
الحل: Δ = 25 – 16 = 9. x₁ = (5+3)/4 = 2، x₂ = (5-3)/4 = ½.
ثالثا: المتراجحات من الدرجة الأولى
لحل متراجحة ax + b > 0، نعزل x مع مراعاة تغيير اتجاه المتراجحة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
مثال 3: حل: -2x + 6 > 0
الحل: -2x > -6 → x < 3. مجموعة الحلول: S = ]-∞, 3[.
رابعا: المتراجحات من الدرجة الثانية
لدراسة إشارة المقدار ax²+bx+c، نحدد جذوره (إن وجدت) ثم نطبق قاعدة إشارة ثلاثي الحدود.
مثال 4: حل: x² – 5x + 6 > 0
الحل: x²-5x+6 = (x-2)(x-3). الجذور: 2 و 3. العبارة موجبة خارج الجذرين. S = ]-∞, 2[ ∪ ]3, ∞[.
تمارين شاملة
- حل المعادلات: 5x+3=2x-9، 4(x-2)=3(x+1)، (2x-1)/3 = (x+2)/4
- حل المعادلات من الدرجة الثانية: x²-7x+12=0، 3x²+2x-1=0، x²+4x+5=0
- حل المتراجحات: 3x-7≤5x+1، x²-4>0، x²-x-6<0
- مستطيل طوله يزيد عن عرضه بـ 3cm ومساحته 40cm². جد أبعاده.
- حدد إشارة العبارات: (x-1)(x+2)، x²+2x-3، 2x²-3x+5
خلاصة
المعادلات والمتراجحات أدوات أساسية لحل المسائل الرياضية والتطبيقية. يجب إتقان طرق الحل المختلفة مع فهم إشارة العبارات الجبرية.
