المنطق الرياضي — الاستدلالات المنطقية وقواعد الاستنتاج — جامعي

المنطق الرياضي: أسس الاستدلال السليم

المنطق الرياضي (Mathematical Logic) هو فرع من الرياضيات والفلسفة يدرس مبادئ الاستدلال الصحيح والبرهان. يعتبر الأساس النظري لجميع فروع الرياضيات وعلوم الحاسوب، حيث يوفر الإطار الرسمي للتفكير السليم وبناء البراهين الرياضية.

القضايا (Propositions)

القضية (Proposition) هي جملة خبرية تحمل قيمة صدق (Truth Value) إما صادقة (True) أو كاذبة (False). أمثلة:
– القضية: 2 + 2 = 4 (صادقة)
– القضية: 3 > 7 (كاذبة)
– ليست قضية: ما اسمك؟ (جملة استفهامية)

الروابط المنطقية (Logical Connectives)

1. النفي (Negation): يرمز له بالرمز (not) أو (~) أو (¬). إذا كانت P صادقة، فإن ¬P كاذبة والعكس.

2. العطف (Conjunction): يرمز له بالرمز (and) أو (∧). P ∧ Q صادقة فقط عندما تكون كل من P و Q صادقتين.

3. الفصل (Disjunction): يرمز له بالرمز (or) أو (∨). P ∨ Q صادقة عندما تكون واحدة على الأقل من P أو Q صادقة.

4. الشرط (Implication): يرمز له بالرمز (if…then) أو (→). P → Q كاذبة فقط عندما تكون P صادقة و Q كاذبة.

5. التكافؤ (Equivalence): يرمز له بالرمز (↔). P ↔ Q صادقة عندما تتساوى قيمتا صدق P و Q.

قواعد الاستنتاج (Rules of Inference)

قياس الفصل (Modus Ponens): إذا كان P → Q صادقة و P صادقة، فإن Q صادقة.
قياس الاستثناء (Modus Tollens): إذا كان P → Q صادقة و Q كاذبة، فإن P كاذبة.
القياس الافتراضي (Hypothetical Syllogism): إذا كان P → Q صادقة و Q → R صادقة، فإن P → R صادقة.

مثال تطبيقي: إذا كان المطر يهطل (P) فإن الأرض تبتل (Q). المطر يهطل (P صادقة). إذن الأرض تبتل (Q صادقة). هذا تطبيق لقياس الفصل (Modus Ponens).

جدول الصواب (Truth Table)

جدول الصواب يبين قيمة صدق قضية مركبة لجميع القيم الممكنة لمكوناتها. يستخدم لتحديد ما إذا كانت العبارة المنطقية صحيحة دائما (Tautology) أم لا.

للاستزادة، راجعوا الاحتمالات والإحصاء الجامعية ودرس الجبر الخطي: المصفوفات والعمليات.