الرياضيات — التفاضل والتكامل: قاعدة السلسلة

التفاضل والتكامل: قاعدة السلسلة

تعد قاعدة السلسلة (Chain Rule) من أهم قواعد الاشتقاق في التفاضل والتكامل. تُستخدم لحساب مشتقة الدوال المركبة، وهي دوال تتكون من دالتين أو أكثر حيث تكون إحداهما داخل الأخرى. بعبارة أخرى، إذا كانت f هي دالة في g، و g هي دالة في x، فإن مشتقة الدالة المركبة f(g(x)) تُحسب بضرب مشتقة f بالنسبة لـ g في مشتقة g بالنسبة لـ x.

الصيغة العامة لقاعدة السلسلة

إذا كانت y = f(u) و u = g(x)، فإن: dy/dx = (dy/du) × (du/dx). أو بصيغة أخرى: d/dx[f(g(x))] = f'(g(x)) × g'(x).

أمثلة تطبيقية

مثال 1: احسب مشتقة y = sin(x²). نعتبر u = x²، y = sin(u). dy/du = cos(u) = cos(x²)، du/dx = 2x. إذن dy/dx = cos(x²) × 2x = 2x cos(x²).

مثال 2: احسب مشتقة y = (3x + 1)^5. نعتبر u = 3x + 1، y = u^5. dy/du = 5u⁴ = 5(3x+1)⁴، du/dx = 3. إذن dy/dx = 5(3x+1)⁴ × 3 = 15(3x+1)⁴.

قاعدة السلسلة للدوال الأسية واللوغاريتمية

للدوال الأسية: d/dx[e^(f(x))] = e^(f(x)) × f'(x). مثال: مشتقة d/dx[e^(2x)] = e^(2x) × 2 = 2e^(2x).

للدوال اللوغاريتمية: d/dx[ln(f(x))] = f'(x)/f(x). مثال: مشتقة d/dx[ln(x²+1)] = 2x/(x²+1).

أهمية قاعدة السلسلة

تعتبر قاعدة السلسلة أداة أساسية في العديد من المجالات: في الفيزياء لحساب معدلات التغير في المسائل الحركية، في الهندسة لتحليل المنحنيات والمعدلات، في الاقتصاد لحساب المرونة ومعدلات النمو، وفي علم البيانات لتدريب الشبكات العصبية عبر خوارزمية الاشتقاق العكسي (Backpropagation).

تمارين مقترحة

1. احسب مشتقة y = cos(5x). 2. احسب مشتقة y = (2x³ – x)^7. 3. احسب مشتقة y = e^(sin(x)). 4. احسب مشتقة y = ln(1 + x²).

للمزيد من الدروس في الرياضيات والعلوم، يمكنكم الاطلاع على درس مفهوم السعادة في الفلسفة، وكذلك درس العصر العباسي.

📍 دروس مشابهة

• الفلسفة — الفلسفة الوجودية: سارتر والحرية
• علم الاجتماع — نظريات التغيير الاجتماعي