الرياضيات — المتتاليات العددية: حسابية وهندسية — الثانية ثانوي (شعب علمية) — المنهاج الجزائري

مقدمة عن المتتاليات العددية

المتتالية العددية هي ترتيب من الأعداد يتبع نمطاً معيناً. المتتاليات الحسابية والهندسية هما أبسط أنواع المتتاليات وأكثرها استخداماً في الرياضيات التطبيقية.

تعريف المتتالية

المتتالية العددية هي دالة معرفة على مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ أو جزء منها، وتكتب (u_n) حيث n هو مؤشر الحد. يمكن تعريف المتتالية بطريقتين:

• بالحد العام: u_n = f(n) حيث f دالة معرفة على ℕ
• بعلاقة تراجعية: u_n+1 = g(u_n) مع إعطاء u₀

المتتالية الحسابية

المتتالية الحسابية هي متتالية يكون الفرق بين حدين متتاليين ثابتاً. هذا الثابت يسمى أساس المتتالية ويرمز له بـ r.

• العلاقة التراجعية: u_n+1 = u_n + r
• الحد العام: u_n = u₀ + n·r
• مجموع n حد: S_n = n·(u₀ + u_n−1)/2

المتتالية الهندسية

المتتالية الهندسية هي متتالية يكون النسبة بين حدين متتاليين ثابتاً. هذا الثابت يسمى النسبة ويرمز له بـ q.

• العلاقة التراجعية: u_n+1 = u_n · q
• الحد العام: u_n = u₀ · qⁿ
• مجموع n حد: S_n = u₀ · (1 − qⁿ)/(1 − q) (إذا كان q ≠ 1)

مثال تطبيقي

تمارين

1. متتالية حسابية: u₀ = 5, r = −3. احسب u₁, u₂, u₃.
2. متتالية هندسية: u₀ = 4, q = 2. احسب u₁, u₂, u₃.
3. احسب مجموع أول 10 حدود من المتتالية الحسابية uₙ = 2n + 1
4. دراسة رتابة المتتالية: uₙ = n² − 3n

للمزيد من المعلومات، راجع درس الدوال الأسية ودرس النهايات والاستمرارية.

📍 دروس مشابهة

• الرياضيات — التفاضل: تطبيقات اقتصادية وفيزيائية — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الأعداد العقدية: تمثيل وعمليات — الثالثة ثانوي (بكالوريا) – شعبة علوم تجريبية — المنهاج الجزائري