الرياضيات — الدوال الأسية: المعادلات والمتراجحات الأسية — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات والمتراجحات الأسية

الدالة الأسية f(x) = e^x معرفة على ℝ، متزايدة قطعياً، قيمها موجبة تماماً. مشتقتها (e^x)’ = e^x. من أهم خصائصها: e^(a+b) = e^a × e^b, e^(a-b) = e^a / e^b.

حل المعادلات الأسية

لحل a^x = a^y نستخدم: إذا كان a > 0 و a ≠ 1 فإن a^x = a^y ⟺ x = y. إذا كانت القاعدة غير متطابقة، نستخدم اللوغاريتم الطبيعي: ln(a^x) = x·ln(a). مثال: 2^x = 5 → x = ln(5)/ln(2).

حل المتراجحات الأسية

إذا كان a > 1: a^x < a^y ⟺ x < y (نفس اتجاه المتراجحة). إذا كان 0 < a < 1: a^x < a^y ⟺ x > y (عكس الاتجاه).

أمثلة تطبيقية

مثال 1: حل 2^x = 16 → 2^x = 2^4 → x = 4

مثال 2: حل 3^(2x-1) = 27 → 3^(2x-1) = 3^3 → 2x-1 = 3 → x = 2

مثال 3: حل e^(2x) – 5e^x + 6 = 0 → (e^x – 2)(e^x – 3) = 0 → e^x = 2 أو e^x = 3 → x = ln(2) أو x = ln(3)

تمارين

1. حل: 4^x = 64, 5^(x+1) = 125, 2^(2x) = 16
2. حل: 3^(2x-1) > 27, (1/2)^x < 1/8
3. حل: e^(2x) – 4e^x + 3 = 0

خلاصة

للمعادلات الأسية: ساوِ الأساسات إذا أمكن، وإلا استخدم ln. للمتراجحات: انتبه لاتجاه القاعدة (a>1 أو 0

دروس مشابهة

• الرياضيات — النسبة المئوية وتطبيقاتها — الأولى متوسط — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — رسوم بيانية — المخططات بالأعمدة والمخططات الدائرية — السنة الأولى
• التكامل — مفهومه وطرق حسابه وتطبيقاته — السنة الثالثة ثانوي (بكالوريا) — شعبة عل