الرياضيات — الدوال اللوغاريتمية: المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

المعادلات والمتراجحات اللوغاريتمية

الدالة اللوغاريتمية f(x) = ln(x) هي الدالة العكسية للدالة الأسية. معرفة على ]0, +∞[. ln(1)=0, ln(e)=1. مشتقتها (ln x)’ = 1/x. خصائص: ln(ab) = ln a + ln b, ln(a/b) = ln a – ln b, ln(a^n) = n·ln a.

شروط الحل

قبل حل أي معادلة لوغاريتمية، نحدد مجموعة التعريف: ما داخل ln يجب أن يكون موجباً تماماً ( > 0).

حل المعادلات اللوغاريتمية

ln(A) = ln(B) ⟺ A = B (بشرط A > 0, B > 0). ln(A) = B ⟺ A = e^B. لتحويل اللوغاريتمات ذات الأساسات المختلفة: log_a(x) = ln(x)/ln(a).

أمثلة تطبيقية

مثال 1: ln(x) = 2 → x = e^2 (مجموعة التعريف: x > 0 → الحل مقبول)

مثال 2: ln(x+1) = ln(4) → x+1 = 4 → x = 3 (نتحقق: x+1 > 0 ✓)

مثال 3: ln(x-2) + ln(x+2) = 0 → ln((x-2)(x+2)) = 0 → ln(x^2-4) = 0 → x^2-4 = 1 → x^2 = 5 → x = √5 (x>2) أو x = -√5 (مرفوض)

تمارين

1. حل: ln(2x+1) = ln(7), ln(x^2 – 1) = 0
2. حل: ln(x) + ln(x+3) = ln(4)
3. حل المتراجحة: ln(x-1) > ln(3)

خلاصة

لحل معادلات ln: يجب تحديد مجموعة التعريف أولاً. استخدم ln(A)=ln(B) ⟺ A=B. تذكر القوانين: ln(ab), ln(a/b), ln(a^n). دائماً تحقق من صحة الحلول.

دروس مشابهة

• الرياضيات — الطرح بدون استعارة حتى 99 — السنة الثانية إبتدائي — المنهاج الجزائري
• الرياضيات — الزوايا الموجهة: القياس الرئيسي والزوايا المتكافئة — الأولى ثانوي
• القاسم المشترك الأكبر PGCD والمضاعف المشترك الأصغر PPCM — الرياضيات — السنة الثا