الرياضيات — الأعداد المركبة: الشكل الجبري والعمليات — الثالثة ثانوي (شعب علمية) — بكالوريا — المنهاج الجزائري

الأعداد المركبة: الشكل الجبري والعمليات الأساسية

الأعداد المركبة (Nombres complexes) هي توسيع لمجموعة الأعداد الحقيقية ℝ لتشمل حلول المعادلات من النوع x² = -1. العدد التخيلي i معرف بحيث i² = -1. الأعداد المركبة أساسية في الرياضيات والفيزياء والهندسة الكهربائية.

تعريف العدد المركب

العدد المركب يكتب على الشكل: z = a + ib حيث a, b ∈ ℝ. a هو الجزء الحقيقي (Re(z)) و b هو الجزء التخيلي (Im(z)).

العمليات على الأعداد المركبة

• الجمع: (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
• الطرح: (a+ib) – (c+id) = (a-c) + i(b-d)
• الضرب: (a+ib)(c+id) = ac + iad + ibc + i²bd = (ac-bd) + i(ad+bc)
• القسمة: (a+ib)/(c+id) = (a+ib)(c-id)/(c²+d²) (نضرب في مرافق المقام)

المرافق (Conjugué)

مرافق العدد z = a+ib هو z̄ = a-ib. كل عدد ومرافقه: z × z̄ = a² + b² ∈ ℝ. مجموع z + z̄ = 2a ∈ ℝ.

التمثيل الهندسي

يمثل العدد المركب z = a+ib في المستوي العقدي (Plan complexe) بالنقطة M(a,b). a هو الفاصلة و b هو التراتيب.

أمثلة تطبيقية

مثال 1: احسب (3+2i)(1-4i) = 3-12i+2i+8 = 11-10i

مثال 2: (2+i)/(1-i) = (2+i)(1+i)/(1+1) = (2+2i+i-1)/2 = (1+3i)/2

تمارين

1. احسب: (2+3i) + (4-5i), (3+2i)(4-i), (1+2i)/(2-i)
2. أوجد الجزء الحقيقي والتخيلي للعدد: (1+i)²⁰
3. حل المعادلة: z² = -9 في مجموعة الأعداد المركبة

خلاصة

الأعداد المركبة توسع ℝ بإضافة i حيث i² = -1. الشكل الجبري: z = a+ib. العمليات تشبه العمليات على الحقيقيات مع استعمال i² = -1. المرافق أداة مهمة للقسمة وايجاد القيمة المطلقة.

📍 دروس مشابهة

• 📘 موضوع امتحان بكالوريا 2013 في التاريخ والجغرافيا مع الحل – شعبة آداب وفلسف
• 📘 موضوع امتحان بكالوريا 2013 في التسيير المحاسبي والمالي مع الحل – شعبة تسيي
• 📘 مقالة فلسفية: مشكلة الواجب والسعادة — مع تمارين بكالوريا — الثالثة ثانوي — آداب