الجبر الخطي — الفضاءات المتجهة والتحويلات الخطية — جامعي

الفضاءات المتجهة: بنية الجبر الخطي

الفضاء المتجه (Vector Space) هو مفهوم أساسي في الجبر الخطي (Linear Algebra). هو مجموعة من الكائنات تسمى المتجهات (Vectors) يمكن جمعها معا وضربها في أعداد حقيقية (تسمى السلميات Scalars) مع تحقيق مجموعة من البديهيات (Axioms). يعتبر الفضاء المتجه الإطار الرياضي لدراسة الظواهر الخطية في الرياضيات والفيزياء والهندسة.

تعريف الفضاء المتجه

الفضاء المتجه V على حقل الأعداد الحقيقية R هو مجموعة مزودة بعمليتين:
1. الجمع: لكل u, v في V، u+v في V.
2. الضرب السلمي: لكل a في R و v في V، av في V.
ويجب أن تحقق العمليتان بديهيات معينة منها الإغلاق والتجميع والتبديل ووجود العنصر المحايد والمعاكس.

أمثلة على فضاءات متجهة:
– R^n (مجموعة جميع متجهات الطول n).
– فضاء كثيرات الحدود من الدرجة n.
– فضاء المصفوفات m x n.
– فضاء الدوال المستمرة على فترة معينة.

التحويلات الخطية (Linear Transformations)

التحويل الخطي T: V → W هو دالة من فضاء متجه V إلى فضاء متجه W تحقق:
– T(u + v) = T(u) + T(v) (الجمعية)
– T(av) = aT(v) (التجانس)
للتحويلات الخطية خواص مهمة:
– نواة التحويل (Kernel): مجموعة المتجهات v حيث T(v) = 0.
– صورة التحويل (Image): مجموعة كل T(v) لكل v في V.

الاستقلال الخطي والقاعدة والبعد

الاستقلال الخطي (Linear Independence): مجموعة من المتجهات مستقلة خطيا إذا كانت المعادلة a1v1 + a2v2 + … + anvn = 0 تستلزم أن a1 = a2 = … = an = 0.

القاعدة (Basis): مجموعة من المتجهات المستقلة خطيا التي تولد (Span) الفضاء المتجه بأكمله.

البعد (Dimension): عدد المتجهات في أي قاعدة للفضاء المتجه. فضاء R^n بعده n.

مثال: في R^2، المتجهان (1,0) و (0,1) يشكلان قاعدة قياسية. أي متجه (x,y) يمكن كتابته كتركيب خطي: (x,y) = x(1,0) + y(0,1).

للاستزادة، اطلعوا على الجبر الخطي: المصفوفات والعمليات ودرس التفاضل والتكامل: النهايات والاتصال.